高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)

高中数学经典题型解三角形【编著】黄勇权【第1题】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且sinCbsinBasinA=3a32sinB+c求：角C的大小【第1题】答案：已知：sinCbsinBasinA=3a32sinB+c等号左边：因为分子、分母每一项含有sin，故用正弦定理，将sin替换成边即：cb*ba*a=3a32sinB+c特别提示：等号右边的sinB不能换成边b，这是因为sinB=R2b,这样就会多出R21，等号两边同时乘以ca2+b2=3ac32sinB+c2将c2移到等号左边，a2+b2-c2=3ac32sinB由于等号左边是a2+b2-c2，只能构建cosC，故等号两边同时除以2ab，这一步非常重要。2abcba222=b3c3sinBcosC=b3c3sinB等号右边，左边分子含c，分母含b，故用正弦定理把c、b换成sinC，sinB这一步非常重要，很多同学想不到，因此就解不出来。cosC=Bsin3sinC3sinBcosC=33sinCtanC=3即C=60°经典技巧：对于正弦定理，很多同学都不知道什么时候能用，什么时候不能用，其实，在运用正弦定理将sin与对应边换时，一定要遵循能够消除2R为原则。例如1：acosB+bcosA=2c【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=2*2RsinC因为每一项都有2R，故能消除2R,化简：sinA*cosB+sinB*cosA=2sinC所以能用正弦定理。例如2：bcosA+sinB=3c【不能用】由正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，得：2RsinB*cosA+sinB=2RsinC*3因为第二项不含2R，无法消除2R,所以不能用正弦定理例如3：sin2A+sin2B=2sinBsinC【能用】由正弦定理：sinA=R2a，sinB=R2b，sinC=R2c代入上式（R2a）2+（R2b）2=2*R2b*R2c因为每一项都有（R21）2，故能消除2R，化简得：a2+b2=2bc所以能用正弦定理例如4：acosB+bcosA=4bc【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC因为要消除2R，所以只能代入一项，要么是b或c而等号右边化简后sinA*cosB+sinB*cosA=sin（A+B）=sinC所以我们只把c换为sinC，而b不动。【解：】acosB+bcosA=4bc由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinCsinA*cosB+sinB*cosA=4bsinCsin（A+B）=4bsinCsinC=4bsinC因为sinC≠0，等号两边同时除以sinC，1=4b即：b=41例如5：已知：b2a-c3cos32cosCOSBBA求：ca的值【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinB2RsinA*2-sin2*3cos32cosCRCOSBBA因为分子、分母都有2R，能够消除2R，即：sinB2sinA-sin3cos32cosCCOSBBA去分母得：2cosAsinB-3sinBcosB=3cosBsinC-2sinAcosB把等号右边的项全部移到左边2cosAsinB+2sinAcosB-3sinCcosB-3cosBsinC=02sin（A+B）-3sin（B+C）=02sinC-3sinA=03sinA=2sinC由正弦定理：sinA=R2a，sinC=R2c代入上式3*R2a=2*R2c消除R21，得：3a=2c即：32ca例如6：已知：2acosC+c=2b求A的值。【不能用】虽然：由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式每一项都有2R，而且也能消除2R，化简得：2sinAcosC+sinC=2sinB但是sinC,sinB这两项是单独的，无法产生关联。故不能用正弦定理，所以直接用余弦定理：2a×ab2cba222+c=2bbcba222+c=2b两边同时乘以b，a2+b2-c2+bc=2b2即：b2+c2-a2=bc两边同时除以2bcbc2acb222=21也就是：cosA=21,求得A=60°经典技巧：类似1、2acosC+c=2b2、bsinA+c=23、acosB=2c-3b将边换成sin时，变成几个独立的sin，他们之间互不产生联系，故不能把边换成sin。把边换成sin的情况：①有公因式可提取例如：3asinB-2b=0用以换解：将a、b换成sin即：3asinB-2b=03sinAsinB-2sinB=0提取公因式sinBsinB（3sinA-2）=0因为sinB≠0，则3sinA-2=0解得sinA=32②能构成类似sin（A+B）或sin（B-C），即构成两角之和或之差的三角函数例如：acosB+bcosA=1用以换解：将a、b换成sin即：sinAcosB+sinBcosA=1Sin（A+B）=1A+B=2π，故三角形ABC为直角三角形例如：ccosB-bcosC=21用以换解：将b、c换成sinsinCcosB-sinBcosC=21Sin（C-B）=21则：C-B=30°或者C-B=150°【第2题】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知sin（6π+C）=a2cb2求：A的值。第2题【思考】已知sin（6π+C）=a2cb2观察等号右边，用正弦定理，将a、b、c、换成sin。①没有公因式可提取，②不能构成类似sin（A+B）故不能用正弦定理【解】先将等号左边化简，sin（6π+C）=a2cb2Sin6πcosC+sinCcos6π=a2cb221cosC+23sinC=a2cb2去分母，两边同时乘以2a，得acosC+a3sinC=b+c因为不能用正弦定理，所有的边a、b、c以及sinC都不动，于是用余弦定理，直接将cosC代入a×ab2c-ba222+a3sinC=b+cb2c-ba222+a3sinC=b+c去分母，两边同时乘以2b，得a2+b2-c2+23absinC=2b2+2bc把a2+b2-c2移到右边，把+2bc移到左边，得23absinC-2bc=2b2-a2-b2+c2合并同类项得23absinC-2bc=b2+c2-a2因为右边是b2+c2-a2，所以要构造cosA，故两边同时除以2ac，ca3sinc-1=bc2a-cb222对于casinc，则用正弦定理，a=2RsinA，c=2RsinC代入2RsinC2RsinA3sinc-1=cosA消除2R，得3sinA-1=cosA将cosA与-1位置互换，得3sinA-cosA=1为了构造sin（A±x）,两边同时除以2，得23sinA-21cosA=21把23换为cos6π，21换为sin6π，得cos6πsinA-sin6πcosA=21sin（A-6π）=21sin（A-6π）=sin6π如果两个角的正弦值相等，那么这两个角相等，或者两个角之和对于π则：A-6π=6π解得：A=3π或（A-6π）+6π=π解得：A=π（舍去）【第3题】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知A+90°=C,且2b+c=3a求：A的值。【第3题】【解】因为：A+90°=C，所以C=90°+A又因为：A+B+C=180，所以B=180°-A-C=180°-A-（90°+A）=90°-2A即B=90°-2A由于2b+c=3a由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，并消除2R得，2sinB+sinC=3sinA将C=90°+A，B=90°-2A代入，得2sin（90°-2A）+sin（90°+A）=3sinA此项不要动，很多同学想不到要这么做2sin（90°-2A）+cosA=3sinA将cosA移到等号右边，得2sin（90°-2A）=3sinA-cosA为了构造sin（A±x）,两边同时除以2，得sin（90°-2A）=23sinA-21cosA把23换为cos30°，21换为sin30°sin（90°-2A）=cos30°sinA-sin30°cosAsin（90°-2A）=sin（A-30°）如果两个角的正弦值相等，那么这两个角相等，或者两个角之和对于π则：①90°-2A=A-30°-3A=-120°解得A=40°或者②（90°-2A）+（A-30°）=180°90°-2A+A-30°=180°-A=60°解得A=-60°（舍去）经典技巧：在A、B、C中，①只要知道其中一个角的值，其他两个角，都要想办法要用已知角去表示例如1：A=20°，那么，B=180°-A-C=180°-20°-C=160°-C②只要知道其中一个角的三角函数值，其他两个角，都要想办法要用已知角去表示例如2：已知sinA=31，且A为锐角。则cosA=322那么，B=180°-A-C，sinB=sin（180°-A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=31cosC+322sinC③只要知道其中两个角的关系，其他两个角，都要想办法要用已知角去表示例如3：已知A-B=15°那么：B=15°+AC=180°-(A+B)=180°-(A+15°+A)=165°-2A例如4：已知A=41B那么：B=4AC=180°-(A+B)=180°-(A+4A)=180°-5A【第4题】在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知asinB=bcosA,且a=bsin（4π+C）-csin（4π+B）求：B-C的值。【第4题】【解】已知asinB=bcosA,由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB代入上式，并消除2R得，sinAsinB=sinBcosA将sinBcosA移到左边，得sinAsinB-sinBcosA=0提取公因式sinBsinB（sinA-cosA）=0因为sinB≠0，则sinA-cosA=0即：tanA=1故A=4π那么B=π-（A+C）=π-（4π+C）又a=bsin（4π+C）-csin（4π+B）将B=π-（4π+C）代入上式a=bsin（4π+C）-csin[4π+π-（4π+C）]a=bsin（4π+C）-csin（π-C）a=bsin（4π+C）-csinC由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB,c=2RsinC代入上式，并消除2R得，sinA=sinBsin（4π+C）-sinC*sinC把sinA=sin4π=1，sinB=sin[π-（4π+C）]=sin(4π+C)代入上式，1=sin(4π+C)sin（4π+C）-sin2C1=[sin(4π+C)]2-sin2C运用半角角公式，这一步很关键，很多同学想不到要这么做。1=2)22/cos1C（π-22cos1C1=22sin1C-22cos1C去分母，两边同时乘以2，得2=1+sin2C-1+cos2C2=sin2C+cos2C为了构造sin（2C±x）,两边同时除以2，得22=22sin2C+22cos2C22=sin（2C+4π）把sin4π=22代入上式Sin4π=sin（2C+4π）如果两个角的正弦值相等，那么这两个角相等，或者两个角之和对于π则①4π=2C+4π解得C=0（舍去）②4π+2C+4π=π解得C=4π故：B=π-（4π+C）=π-（4π+4π）=2πB-C=2π-4π=4π【第5题】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosc=(2a-c)cosB,(Ⅰ)求∠B的大小；(Ⅱ)若b=7，a+c=4，求△ABC的面积。【第5题】答案【第一步】由正弦定理得b=2RsinB，a=2RsinA，