江苏省青年教师基本功比赛数学试题

江苏省青年教师基本功比赛数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.A={1，m}，B={1，4}，f：是A到B的映射，则m的值组成的集合2xx为.2.已知是奇函数，且．若，则2)(xxfy2)1(f2)()(xfxg)1(g.3.从甲、乙等5人中选出3人排成一行，则甲不在左侧排头的排法种数是(用数字作答).4.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是.2sinsin3cos5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是cba,,，若，，则2ac2ACBA=.6.球面上有S，A，B，C四点，且SC=1，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，则球面面积为.7.若非零向量a，b的夹角为45°，且|a|=1，|2ab|=，则|b|=________.108.设正数，满足，则的最小值为.ab22465aabb2ab9.设为锐角，若，则的值为.5cos(30)3sin(215)10.设2loglogyxba，，则的取值范围是.2baxy11.过抛物线：的焦点的直线交于两点，若，则Cxy22FCBA,3||AF||BF.12.过原点的直线与函数的图像交于两点，过作轴的垂线交函数的xy2BA,Byxy4图像于点，若直线平行于轴，则点的坐标是.CACyA13.设aR，若当时均有成立，则a=.0x2(1)[(1)1]0axxax14.已知圆O的半径为1，PA、PB为圆O的两条切线，A、B为切点，那么当取PAPB最小值时，点P到圆心O的距离为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（14分）请用两种方法推导两角差的余弦公式．16.（14分）（1）小船以定速直行，航线距灯塔的最近距离为600m（如图）．已知灯塔L对小船现在的位置及小船航线与灯塔的最近点的张角，且该角正以BP80BLP0.6L600mPBmin的比率减小，求小船的速度；（单位：mmin；参考数据：）//2104.2cos80（2）请编制一道类似于本题的导数应用题（不用解答）．17.（14分）（1）体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每一位同学最多有5次投篮机会，若投中3次就算达标，停止投篮；若投篮（）次后，发现即使后面的（n25n5n）次投篮全中也不可能达标了（例如前3次都未投中的情形），则也停止投篮．同学甲投篮的命中率为，且每一次投篮互不影响．设测试中甲投篮的次数为，求的分布列及23XX数学期望；()EX（2）请你简述一下本题的讲解关键及教学流程．18.（16分）已知数列{}na满足123...nnaaaana（1,2,3...n）．令(2)(1)nnbna（1,2,3...n），如果存在N*，使得，试求实数t的n214nttb取值范围．19.（16分）已知椭圆C的方程为．22221xyab(0)ab（1）若过A(0,a)的直线与C相切于点M，交x轴于点B，且，求C的离心llAMAB4率；（2）设，为C上两动点，且满足条件，求，11(,)Pxy22(,)Qxy2212120ayybxxP的中点的轨迹方程．QM20.（16分）设为非负实数，函数．a()||fxxxaa（1）判断函数()yfx的奇偶性；（2）讨论函数()yfx的零点个数，并求出其零点．参考答案及评分标准一、填空题：1.2.3.484.5.6.7.{1,2,2}2122328.29.10.),2(11.12.13.14.3125053)2,1(124214.PAPB)1cos2(||22PA)1||||2(||222POPAPA=)1||1||2)(1|(|222POPOPO222||3223.||POPO二、解答题：15.解法1：在直角坐标系中，以轴为始边分别作角，xOyOx,其终边分别与单位圆交于，，则……21(cos,sin)P2(cos,sin)P12.POP分由于余弦函数是周期为的偶函数，2所以，只需考虑的情况.……………30PABO分设向量a=，b=，1(cos,sin)OP(cos,sin)则ab=|a||b|.……………5cos()cos()分另一方面，由向量数量积的坐标表示，有ab=，coscossinsin所以.……………7cos()coscossinsin分解法2：在直角坐标系中，单位圆与轴交于.xOyOx0P以轴为始边分别作角，，，其终边分别与单位圆交于Ox，，.…………31(cos,sin)P2(cos,sin)P3(cos(),sin())P分，…………522203||[cos()1]sin()22cos()PP分，22212||(coscos)(sinsin)22(coscossinsin)PP所以.……………7分cos()coscossinsin16.解：（1）设（m），，则，…….………2BPsBLP600tans分.……………4分tan()tan600stt当时，得.……………6分0t2600''costts又，……………8分|'|(0.6)/min180trad故小船的速度为208.4（mmin）..……………1026000.6180cos80/分（2）编制一道类似于本题的导数应用题．……………14分17.解：（1）的取值应该是3，4，5．……………2X分表示投篮3次，3次全中或全未中，故，…………4分3X33211(3)()()333PX表示投篮4次，前3次投篮投中2次，且第4次投中；或前3次投篮投中1次第44X次未中，22123321212110(4)()()33333327PXCC，……………6分表示前4次投篮中两次投中两次未投中，.………85X2224218(5)()()3327PXC分所以的分布列为：XX345P131027827……………10()EX178107345.3272727分（2）感性认识到理性认识；分类讨论；独立重复试验．也可以．……………14(4)1(3)(5)PXPXPX分18.解：令得，故.……………2分1n111aa112a由题可知：1231nnnaaaaana，①123111nnnaaaaana，②②①得121nnaa，即111(1)2nnaa.……………4分又1112a，所以数列{1}na是以12为首项，以12为公比的等比数列.，11()2nna.……………6分1111()22nna由(2)(1)nnbna可得22nnnb.……………8分，……………10分1111223222nnnnnnnnbb当3n时，；当3n时，10nnbb；3418bb，10nnbb所以12345nbbbbbb所以，对任意N*，有18nb.…………14分n如果存在N*，使得成立，则有，解得，n214nttb21148tt1142t所以，实数t的取值范围是…………16分11[,].4219.解：（1）由题意可设切线的方程为akxy，l代入12222byax可得02)(2232222cakxaxbka，………2分2222222222226)(0)(44bccakabkacaka22ek.………4分设0(xM,)0y，则由上可知22230bkakax.………6分ak又，，)0(kaB，，00(,)AMxya(,)aABak由得.………8分AMAB404axk4ak故，于是………10分2214ke1.2e（2）设，的中点坐标为，则，.PQM(,)xy122xxx122yyy于是，.………12分222112242xxxxx222112242yyyyy由条件可得.……14分2212120ayybxx222222222222121244bxaybxbxayay因，为C上两动点，所以，，11(,)Pxy22(,)Qxy2211221xyab2222221xyab故有，，的中点的轨迹方程为……16分222222442bxayabPQM22221.22xyab20.解：（1）①当时，，显然是奇函数.……………1分0a()||fxxx②当0时，，()yfx不是奇函数.a(0)0fa，，，()yfx不是偶函数.()faa()||faaaa()()fafa即当0时，函数()yfx不具有奇偶性.……………3分a（2）①当0a时，()||fxxx，函数()yfx的零点为.……………4分0x②当0a时，()fxxxaa……………6分22,,,.xaxaxaxaxaxa当xa时，22()()24aafxxa，二次函数图象对称轴2axa，∴()fx在(,)a上单调递增，()0fa；……………8分当xa时，22()()24aafxxa，二次函数图象对称轴2axa，∴()fx在(,)2aa上单调递减，在(,)2a上单调递增.……………10分1当()02af，即04a时，函数()fx图象与x轴只有唯一交点，即有唯一零点.由20xaxa及得()yfx的零点为；……………12分xa242aaax2当()02af，即4a时，函数()fx图象与x轴有两个交点，即有两个零点，分别为和；……………14分12x2242222aaax3当()02af，即4a时，函数()fx图象与x轴有三个交点，即有三个零点，由20xaxa解得，242aaax∴函数的零点为和.……………16分()fx242aaax242aaax