概率论--第一章复习题

主要内容•基本概念1.随机试验；2.样本空间；3.随机事件•事件间的关系1.子事件：AB2.和事件：A∪B3.积事件:AB4.差事件:A-B=A-AB=AB5.互斥事件(互不相容事件):AB=6.互逆事件:AB=，且A∪B=Ω(样本空间）•事件的运算法则1.交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A．4.德.摩根律(对偶原则)：设事件Ai(i=1,2,…,n)则niiiniAA112.结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C．3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)．5.对必然事件的运算法则：A∪Ω=Ω,A∩Ω=A6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．ininiiAA11设E---随机试验，Ω---样本空间.事件AP(A),称为事件A的概率,如果P(•)满足下列条件:1°非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0；2°规范性:对于必然事件Ω,有P(Ω)=1；3°可列可加性:设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于则P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…,,2,1,,,jiAAjiji•概率公理化定义•概率性质(2)(有限可加性)若A1，A2，…An两两不相容，P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(1)P(φ)=0．(3)若AB，则有P(B–A)=P(B)–P(A);(5)逆事件：P(A)=1–P(A)，(4)对于任一事件A，有P(A)≤1，一般有P(B–A)=P(B)–P(AB)(6)(加法公式)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)等可能概型(古典概型)1.定义：设E是试验，Ω是E的样本空间，若(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.这种试验称为等可能概型或古典概型．2.古典概型中事件A的概率的计算公式中基本事件的总数包含的基本事件数SAnkAP)(几个重要公式1.条件概率0)(,)()()(APAPABPABP2.乘法公式niiiBPBAPAP1)()()(3.全概率公式112()()(),,,,()()iiinjjjPABPBPBAinPABPB4.贝叶斯公式)()()(BAPAPABP独立性1.事件A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B)2.A1,A2,...,An两两相互独立P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，（1ijn）3.A1,A2,...,An相互独立1≤i1i2...ik≤n,(k≤n),1212()()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPA独立的性质:1.设A和B是两个事件,且P(A)＞0.若A和B相互独立,则P(B|A)=P(B).反之亦然.2.若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:A与B,A与B,A与B典型习题一、选择题1.对于任意两事件A和B,有P(A-B)=().(A)P(A)-P(B);(B)P(A)-P(B)+P(AB);(C)P(A)-P(AB);(D)P(A)+P(B)-P(AB).2.已知0P(A)1,0P(B)1,P(A|B)+P(A|B)=1,则()(A)事件A和事件B互斥;(B)事件A与B对立;(C)事件A和事件B不独立;(D)事件A和B相互独立.3．对于任意两事件A和B,若有P(AB)=0,则下列命题正确的是().(A)A与B互斥;(B)A与B独立;(C)P(A)=0,或P(B)=0;(D)P(A-B)=P(A).答案：D解析：直接利用概率性质（3）4.假设事件A和B满足P(B|A)=1,则()(A)事件A是必然事件(B)P(A-B)=0(C)AB(D)BA答案:B解析:由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知P(AB)=P(A).从而有P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.1.设A,B为随机事件，P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P(AB)=___.二、填空题0.63.从一副扑克牌的13张梅花中，有放回地取3次，则三张不同号的概率为.3131112132.假设P(A)=0.4,P(AB)=0.7,(1)若A与B互不相容,则P(B)=;(2)若A与B相互独立,则P(B)=.0.30.51.设P(A)=1/3,P(B)=1/2，(1)已知A、B互不相容,求P(AB),P(AB),P(A∪B)(2)已知A、B独立,求P(A∪B),P(A-B)(3)已知AB,求P(AB),P(AB).[答案](1)1/2;1/6;2/3（2）2/3；1/6(3)0;1/6三、解答题2.设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A|B)=0.5,求P(B|A)，P(B|A∪B)，P(A∪B|A∪B).[答案]0.2,0.8,0.63.一袋中装有m(m3)个白球和n个黑球，今丢失一球，不知其色.先随机从袋中摸取两球，结果都是白球，球丢失的是白球的概率.解设A=“丢失的是白球”,A=“丢失的是黑球”,B=“摸到的都是白球”,)()()|(BPABPBAPnmnAPnmmAP)(,)()|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP21221212121nmnnmmnmmCCnmnCCnmmCCnmm22nmm4.设玻璃杯整箱出售,每箱20个,各箱含0,1,2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯,由售货员任取一箱,经顾客开箱随机查看4个.若无次品,则买一箱玻璃杯,否则不买.求：(1)顾客买此箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有次品的概率.解：设A={顾客买下所查看的一箱},P(A|B1)=54420419CC1912420418CCBi={箱中恰好有i件次品},i=0,1,2.由题设可知：P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,P(A|B0)=1P(A|B2)=20)()(iiiBAPBP(2))()()()(000APBPBAPABP(1)P(A)=≈0.9419121.0541.018.094.018.0≈0.855.假设有两箱同种零件,第一箱内装50件,其中有10件一等品;第二箱内装30件,其中有18件一等品.现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后不放回地随机取出两个零件,试求(1)先取出的是一等品的概率;(2)在先取出一等品的条件下,第二次仍取得一等品的概率.解:(1)设Ai表示事件“第i次取到一等品”,Bi表示事件“被挑出的是第i箱”(i=1,2),由全概公式1111212()()()()()PAPBPABPBPAB1018112=2502305(2)由条件概率的定义和全概率公式得11212122122111()()()()()()()()PBPAABPBPAABPAAPAAPAPA10918171125049230290.48557256.三个人独立的去破译一份密码.已知个人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?解答:设A={第一个人译出密码}B={第二个人译出密码}C={第三个人译出密码}D={至少有一个人译出密码}则:P(A)=1/5P(B)=1/3P(C)=1/4所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=3/57.设有来自第一二三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率P.解：设Hi表示事件“报名表是第i区考生的”i=1,2,3Aj表示事件“第j次抽到的报名表是男生表”j=1,2则902925515710331)()(1252015810731)()()(3111312111321iiiHAPHP)AP()p()HP(A)H,P(A)HP(AHPHPHP(2)由全概率公式得31212131223212211213222129230530830731)()()(906125515810731)()()(305)HAP(,308)HAP(,307)HAP(2520)HP(A158)HP(A,107)HP(AiiiiiiHAAPHPAAPHAPHPAPAAA因此6120906192)()()(22121APAAPAAPq1.假设事件A和B满足P(B|A)=1,则()(A)事件A是必然事件(B)P(A/B)=0(C)AB(D)BA答案:D解析:由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知P(AB)=P(A).从而有AB.补充练习题2.设A、B、C是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是()A．A与BC独立B.A与独立C.AB与AC独立D.与独立3.将一枚硬币独立抛掷两次，表示掷第一次出现正面，表示掷第二次出现正面，表示正、反面各一次，表示正面两次。则事件()A互相独立B.互相独立C.两两独立D.两两独立CACABA1A2A3A4A321,,AAA432,,AAA321,,AAA432,,AAACA4.设两两相互独立的三事件A、B和C满足条件P(A∪B∪C)=9/16,则P(A)=___.ABC=,P(A)=P(B)=P(C)1/2,且已知1/40.70.25.假设P(A)=0.5,P(B)=0.6,则P(AB)=;P(B-A)=.8.0)(ABP6.包括a、b两人在内共n个人排队，问a、b之间恰有r人的概率!)!12(22nrnArn7.10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。53.0.1210232101713CCCCCP8.10人中有一对夫妇,他们随意坐在一张圆桌周围,求该对夫妇正好坐在一起的概率.92!10!8210.2P9.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码,求(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.[答]2254331010113.(1),(2)CCCC测试题１.已知A,B是任意两个随机事件,且0＜P(A)＜1,0＜P(B)＜1.假设两个事件中只有P(A)=P(B),则下列等式未必成立的是().(A)P(A|B)=P(B|A)(B)P(A|B)=P(B|A)(C)P(A|B)=P(A|B)(D)P(A-B)=P(B-A)2.设有三个事件A、B、C，其中P(B)0,P(C)0,且事件B与事件C相互独立,证明()()()()()PABPCPABCPCPABC3.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,求是甲射中的概率.1.答案:C解析:由题设知P(AB)=P(AB).即P(A-B)=P(B-A),故(D)成立.且P(A)=P(B).所以有P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(AB)/P(A)=P(B|A),故(A)成立.P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(AB)/P(A)=P(B|A),故(B)成立.而P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(AB)|P(B),若(C)成立,必有P(B)=P(B)=1-P(B),即P(B)=1/2,此式未必成立,因而选(C)测试题解答所以)()()()()()()()()()()()()(CPBPCBAPCP