一题多解的小论文

一题多解的简单分析摘要：正在数学教学中培养学生的发散思维能力是数学新课标的要求。数学的解题方法是多种多样的，当你找到一种简洁的解题方法的时候，做题时往往会达到事倍功半的效果，如果方法不当，就会非常的吃力。因此，我们在做题的过程中一定要注重解题技巧的发现，培养发散的思维，用发现的眼光去看待问题，更多的得出化解问题的办法。一题多解体现出了数学解题的灵活性和多样性，这种思想的应用对数学的学习和应用是相当有益处的，当你真正做到举一反三的时候，说明掌握了这一个问题的解决技巧。关键词：解题方法发散思维一题多解有助于培养学生的发散思维能力，使学生在解题中回忆、联系所学内容，同时巩固新学的知识；有助于锻炼学生的基本技能，同时抑制教学的模型化，促进学生发展自动化；还有助于学生形成良好的科学素质。本文通过对一题多解的例题剖析，指出了学生应用一题多解的妙处。下面由下题作出具体分析：问题：已知15a，则1227223aaa解法一：直接代入法思路分析：题中已知的是15a为一无理数，而在求的是1227223aaa的值，1227223aaa中a的最高次项是三次方，所以首先想到的是直接代入，也就是将15a直接代入求解，具体如下：将15a代入1227223aaa，得12)15(2)15(7)15(22312)15(2]152)5[(7]153)5(3)5[(222312)15(2)1525(7]1531555[212252751435325160结论：对于此题而言a的最高次项只有三次方，即15只是被三次方，计算量比较小，而且不容易出错。但对于更高次方或非出数字的题目而言，直接代入法不仅计算量大而且容易出错，属于低效率方法。解法二：变形代入法方法一：思路分析：15a左边是a，右边是15，计算3a或更大次方时，要计算15的三次方或更大次方，计算比较大，所以将15a变成51a，这样计算5的三次方或更大次方时计算量可稍减小。但求解中是3a，而已知变为51a，所以要将1227223aaa变为只含因式1a的多项式，再将51a代入。具体如下：用多项式除法分解1227223aaa577127551225752122122722222323aaaaaaaaaaaaaa即5)752)(1(12272223aaaaaa，再把7522aa分解成1a为因式的多项式，有1033733212275222aaaaaaaa即10]1)1(2)[1(10)32)(1(7522aaaaaa综上所述可得：0555)10510(55]10)152(5[55}10]1)1(2)[1){(1(5)752)(1(12272223aaaaaaaaa方法二：思路分析：由方法一看出多项式除法可降低计算量，但效果不大，而且51a仍为无理数，所以将51a两边平方得5)1(2a，进而化为422aa为有理数，再把1227223aaa变形，将422aa代入。具体如下：0121212)2(3122381223)2(212272222223aaaaaaaaaaaaa结论：变形代入比直接代入减少计算量，而且不易出错，方法一运用了高等代数中的多项式除法分解因式，方法二将无理数化为有理数进行计算使错误率降低，而且在求解中逐步将已知量代入降低幂，使计算逐步简单化。但要是已知中式子变复杂的话，变形也许会加大计算量。解法三：待定系数法思路分析：由以上两个解法来看，此题重点在于对求解式子的因式分解，所以可运用初等代数中的多项式知识来接此题，具体如下：方法一：多项式恒等定理设12272)1()1()1(2323aaaDaCaBaA显然有2A，12272)1()1()1(22323aaaDaCaBa，即12272)2()26()6(222662)1()1()1(2232322323aaaDCBaCBaBaDCCaBBaBaaaaDaCaBa由多项式恒等定理有510112222676DCBDCBCBB即122725)1(10)1()1(22323aaaaaa，将51a代入得0551055105510)5()5(223即01227223aaa方法二：特值法令1227223aaaaf，zayaxaag)1()1()1(2)(23，令)(agaf，取a分别为1,0,1时51015)1(2416)1(12)0(2)0(5)1()1(zyxfzyxgfzyxgfzg得12272)(5)1(10)1()1(2)(2323aaaafaaaag即5)1(10)1()1(2122722323aaaaaa，将51a代入得0551055105510)5()5(25)1(10)1()1(212272232323aaaaaa方法三：综合除法1221032325752752122721所以5)1(10)1()1(2122722323aaaaaa结论：待定系数法是初等代数中多项式因式分解的基本方法，对于多项式的题型的解决效果明显，不仅减少计算，而且降低错误率，还很容易掌握。尤其方法三更加简便，只要熟练掌握，对解决多项式分解问题很有帮助。以上这种一题多解的例子，在我们学习过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样去深入观察、分析、解决与反思，那必能起到以一当十、以少胜多。通过一题多解，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密的联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，激发学习兴趣、创新意识和探索精神，培养创新能力，学会学习。参考文献［1］刘永生、《数学竞赛与数学思维的发展》［D］、华中师范大学、2004年［2］时添善、王润腾、《一道数学竞赛题的多种解法》［J］、中学数学、1986年02期［3］梁凤英、《一道数学竞赛题的解法》［J］、中学数学杂志、2006年02期［4］邢益民、《一道竞赛题的简证》［J］、中学数学、1991年11期Abstract:ismathematicsteachingtocultivatestudents'divergentthinkingabilityinmathematicsnewcurriculumrequirements.Mathematicalproblemsolvingmethodsarediverse,andwhenyoufindasimplemethodforsolvingtime,thetitlewilloftenachievelittleeffect,ifthemethodisundeserved,willbeverydifficult.Therefore,weinthequestionprocessmustfocusonproblem-solvingskills,fosterdivergentthinking,findthevisiontoseetheproblem,moregetthesolutiontotheproblem.Severalsolutionstooneproblemreflectedinmathematicalproblemsolvingflexibilityanddiversity,theideaoftheapplicationofthelearningofmathematicsandapplicationisbeneficial,whenyoutrulyinferotherthingsfromonefactwhen,thatmasterthisoneproblemsolvingskills.Keywords:problemsolvingmethodofdivergentthinking