一题多解论文

1北京市第四届‘智慧教师'教育教学研究成果征文”题目：“一法多用”——培养学生发散思维能力的途径单位:____丰台路中学_____姓名:_张宏志______通信地址:_北京市西四环中路103号丰台路中学_____联系电话：[phone]单位电话：63812022--803邮编：_100071_______电子邮箱：[e-mail]____2“一法多用”——培养学生发散思维能力的途径张宏志【摘要】：发散思维能力是一种具有创造性的思维能力。要求学生全面地观察问题，运用多方面的知识去寻找解题方法的思维能力。而“一法多用”则是培养这种思维能力的重要途径。【关键词】：发散性思维初中数学一法多用发散性思维是指根据已有的信息，从不同角度和方向思考问题，从多方面寻求答案的一种思维形式。它的主要特征是流畅性、变通性和独创性。发散性思维在人的创造性思维活动中起着极为重要的作用。在科学技术高度发达的今天，学校教育特别是数学教育方面十分重视开放式教学以提高学生的发散性思维能力。在我国，随着《数学新课程标准》的实施，数学教学将越来越注重培养发散性思维能力。在数学学习中发散性思维表现为思考和解决问题时能够在很短的时间内产生大量的有关信息以迅速解决问题，善于逻辑推理和等价变换，善于探索独特新颖的解题方法。一些研究表明数学教学方式对培养中学生发散性思维能力有极为密切的关系。一、发散思维的培养价值创新思维有赖于发散思维。发散思维是指考虑问题时，没有一定的思考方向，可以突破固有的知识结构和认识框架、自由思考、任意想象，从而获得大量的设想，提出多种多样的想法和做法。简单的说，发散思维是不依常规，寻求变异，从多方面寻求问题答案的思维方式。思维的灵活性是指思维过程的多样性和多面性，是一种随机而行的思维.它是发展创造性思维的一个重要条件，它表现为对问题能够迅速、全面、正确的做出判断，从而灵活的找出解决问题的各种办法.在数学教学中，讲了一种类型的题目以后，教师往往喜欢用大量的同类型的题目给学生练习，这对巩固知识、形成技能来说当然是必要的，但是，这样做也会带来一定的副作用.因为在这种练习中，用的是同一思路、同一方法，解决的是同一类型的问题，这就容易产生固定不变的思维模式和思维框架，造成心理上的思维定势.这对培养学生思维的发散性和创造性是极为不利的.所以教师应在教学过程中绷紧克服学生思维定势的3这根弦，经常在概念、法则、思路等方面做一些变式和变形的练习，做一些类比和对比的练习，以消除学生思维定势的消极影响。二、发展思维能力是培养能力的核心数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心，要使学生掌握数学知识并培养能力、发展智力和陶冶个性品质，数学思维问题是数学教育的核心。可见数字教学改革，思维是根本，对学生各种能力的培养，其核心是进行思维能力的培养。新课标对思维能力的要求：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合手逻辑地进行讨论与质疑。”而观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，正是数学思想方法体系中重要的科学认识方法。这种方法是数学思维的基本形式，它们和思维内容，思维形式及思维品质相互联结，是数学思维结构的主要成份。只有加强数学思想方法的训练，才能优化思维结构，从而提高思维能力。发展思维有利于科学方法、优良工作作风的培养，社会各部门、各行业对数学知识要求的深度与广度的差异是很大的，但对人的素质要求是具有共性的。如要求走向社会的人，应具备严谨的工作态度，具有善于分析情况，归纳总结，综合比较，分类评析，概括判断的工作方法。实际工作者，科研工作者，特别是决策部门工作人员更需逻辑论证，严密推测的科学方法与工作作风，这一切都是可以在数学思想方法的渗透、训练中得以培养的。“严谨、辩证”的科学态度，“化归、转化”的科学思想，“分类评析、概括判断”的科学方法是一个人终身受用的优良品质，它哺育着人养成诚实、正直、严肃认真、踏实细微、机智、顽强等当今时代迎接挑战不可缺少的精神，数学思想方法的教学有助于素质教育，为素质教育提供了一个有效的途径。三、发散思维培养的途径----“一法多用”美国著名心理学家吉尔福特认为，发散思维就是不拘一格地去分析、研究问题，寻求解决问题的最佳方法。教师在课堂教学中，要从学生的年龄特征和接受能力出发，从数学教学的概念、语言、问题以及问题的条件、方法、情节等方面进行全方位的拓展和发散，尽量从多角度、多方面去探讨，从而开拓解题思路，学会分析、研究问题的方法，要选择学生熟悉的典型材料，精心指导学生，通过4联想熟悉的问题进行转化实物感知、观察，并用听、闻、尝试等行之有效的方法去亲身感受，从而得到理性上的启发和联想，使思维活动更加深刻、更广泛.值得注意的是，一题多解、一题多变并不是问题和方法的简单堆砌，而是从不同的角度去分析思考同一个问题所得到的结论，只是让学生确实意识并掌握从不同角度去思考解决问题的方法，形成富有联想的“一法多用”，一题多解、一题多变的教学活动才能真正起到打破学生思维定势，特别是“一法多用”，培养学生发散思维的积极作用.一法多用，多题归一，培养学生的思维收敛性。任何一个创造过程，都是发散思维和收敛思维的优秀结合。因此，收敛性思维是创造性思维的重要组成部分，加强对学生收敛性思维能力的培养是非常必要的，而多题归一的训练，则是培养收敛性思维的重要途径。很多数学习题，虽然题型各异，研究对象不同，但问题的实质相同，若能对这些“型异质同”或“型近质同”的问题归类分析，抓共同的本质特征，掌握解答此类问题的规律，就能弄通一题而旁通一批，达到举一反三、事半功倍的教学效果，从而摆脱“题海”的束缚。（一）、“型异质同”或“型近质同”的问题归类分析例1如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于O点.求证：AB·ADCB·CD=AOOC．分析：这个题很难下手，但采取转化的办法理清思路就不难了．我们从题目求证中看出比例式两边方次不同，可能是右边约去了某个因式，然而又很难寻找AB·ADCB·CD约去的因式，怎么办呢?我们从求证中看到AB·AD与CB·CD都是相邻两边乘积，于是可联想到很容易的一道典型题，已知：ΔABC内接于⊙O，AD为ΔABC中BC边上的高．AE为ΔABC外接圆的直径.求证：AB·AC=AD·AE．这个题是很容易证的．只要连结BE，证明5ΔABE∽ΔADC，即可，这个典型题用语言叙述就是“三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边上的高之积”．这个典型题的结论在证此例中可发挥绝妙的作用．证明：略例2已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质。）探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R.问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明.探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗？探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM成立吗？探索五：A、B、C三点不在一条直线上时，△ACM和△BCN分别变为正方形ACME和正方形BCNF，其它条件不变，AN=BM成立吗？这样教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。例3如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BD⊥AC于D.求证：BD=PE+PFMNACBPQRPFCBEDA6变式1：△ABC变为等边三角形变式2：P在正△ABC内变式3：P在正△ABC外变式4：P在等腰△ABC的底边延长线上例4、轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小.变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）ABCDPEFDABCFEGPADBCPFEGABCDPEFBAl●●7方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；变式2：已知:AB、AC表示两条交叉的小河，P点是河水化验室，现想从P点出发，先到AB河取点水样，然后再到AC河取点水样，最后回到P处化验河水，怎么走路程最短呢？实验员小王说:“我从P点笔直向A走，同时取好两河水样再原路返回，这样走，路最近.”化验员小吴否定了小王的路线，提出了自己的想法，请同学们想一想，小吴走怎样的路线？变式3：BC上一点P，使PD+PE最小；.在AC、BC各定一点D、E，使PD+DE+EP最小AP●小华家姥姥家河流●●小华家姥姥家河流●●BCAP●AP●ADECB●●8A··BabMPAQN变式4：如图，在定直线XY外有一点P，试在XY上求两点A、B，使PA+PB为最短，而AB等于定长a.变式5：如图，在河的两侧有A、B两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，要使A村到B村的路程最短，问桥应修在何处？(河宽为定长为m)解:(1)过B作BC⊥a，且使BC=m;(2)连接AC交b于P;(3)过点P作PQ⊥a，垂足为点Q，那么PQ就是桥的位置.例5、如图，公路MN和PQ在P点处交汇，且∠QPN=30°点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响，请说明理由，若影响，求出影响时间.（拖拉机的速度是12米/秒）变式1：如图，A城气象台测得台风中aXY·Pab·BA·CPQXY··P/·P//aaBAP9心在A城正西方300千米处，以710千米/时的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域.（1）问A城是否受到台风影响？为什么？（2）若A城受到台风影响，那么A城受到台风影响的时间多长？变式2：据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由.（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力有几级？（二）、异性同构初中数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。再如：（1）一个多边形除一个内角外，其余所有内角和等于2200°，则这个多边形的边数为.（2）一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为.ABFBAC10以上两题表面上看不同，实际是同一道题，应注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系.避免“只见树木不见森林”的现象。例6如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段.(1)请在左图中分别画出长度为26、52、23的线段.(2)已知△ABC的三边长分别为AB=26cm、BC=52cm、AC=23cm，求△ABC的面积.(可以利用右图，也可以用其它方法)变式：比较大小：26与10517例7勾股定理：1、如图①，一梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，梯子下端B与墙角C相距1.5米.(1)这架梯子的顶端距地面多高?(2)如果这架梯子滑动后停留在DE位置(如图②所示)，测得BD长为0.5米，这时梯子顶端下落多少米?变式：梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地ACB图①ACBDE图②11面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时