第九章-量纲分析与相似理论

第九章量纲分析与相似理论§9-1量纲分析§9-2相似的基本概念§9-3相似准则1引言高126m相似理论23§9-1量纲分析一、量纲与单位1.单位：表征各物理量的大小。如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等；质量单位千克、克等2.量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。43.基本量纲和导出量纲（1）基本量纲：量纲互不依赖、相互独立。L长度量纲M质量量纲T时间量纲（2）导出量纲：由基本量纲表示的量纲，可用基本量纲的指数乘积来表示。dimLMTabcx1dimLTu-2dimLMTF力粘度11dimLMT速度54.量纲分类0,0,0abc（1）几何学量纲：（2）运动学量纲：0,0,0abc（3）动力学量纲：0,0,0abc（4）无量纲数：0,0,0abc121LTLdim1LTeRLdim1LJdimLMTabcx6vdRelhJwdd粘度系数力密度，重度流量速度，加速度常用量及量纲13dimTLQ3dimML2dimMLTF11dimTML22dimTML12dimTLv1dimLTv2dimLTg7二、量纲和谐性原理1.量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。连续性方程2211AvAv221112221222wpvpvzzhgggg伯努力方程2.在经验公式中常有带量纲的系数，这类公式的量纲是不和谐的。动量方程)(1122vvQF8三、量纲分析法量纲分析法：在量纲和谐性原理的基础上，形成了两种按照物理量之间的量纲和谐性建立各物理量之间的函数关系式的方法。1.瑞利法若某一物理过程与n个物理量有关，即0),,,(21nxxxf其中一个物理量可以表示成其它物理量的指数乘积形式ix1211abcdmiiinxKxxxxx无量纲数K待定系数,,,abcdm9Rvm例9-1已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力，与物体的质量、速度和圆周半径有关，试用瑞利法推导离心力公式。F[解]根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式cbaRvKmF根据量纲和谐性，有21dimMLTMLTLbacFKM:1aL:1bcT:2b1a2b1cRKmvF/210cv例9-2由实验得知：恒定有压管流的临界流速与管径、流体密度和动力黏性系数有关，试用瑞利法求出它们之间的关系式。d[解]根据已知条件，有以下待定函数关系),,(dfvccbacKdv根据量纲和谐性有1311dimLTLMLMLTbcacvKL:13abcT:1cM:0bc1a1b1cccecdvvdKR112.定理法(布金汉法)若物理方程为0),,,(21nxxxf而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n–m)个无量纲π数的函数关系，即0),(21mnF11132141cbaxxxx22232152cbaxxxx…3333123nnnnnabcxxxx123,,xxx这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征12123,,xxx必须相互独立表征流体物性：密度、粘度等ld表征几何特性:管径、管长等gv表征运动特性：速度、重力加速度等13定理法的运用步骤：（1）找出对物理过程有影响的个物理量，写成函数形式。所谓有影响的物理量是指对研究的物理过程起作用的各种独立因素nm（2）选出个相互独立的基本量，一般取个3micia（4）根据量纲和谐性原理，找出各项的待定系数、、。ib（3）将个基本量依次与其余量组成个无量纲项mn（5）写出描述该物理过程的关系式0),(21mnF14Ddv例9-3已知圆球的绕流阻力与流体的密度和粘度、圆球的直径、来流的流速相关，试用定理推导绕流阻力公式。[解]（1）建立函数关系式0),,,,(vdDfdv（2）选取、、为三个基本量，求各项。1111cbavdD2222abcdv15根据量纲和谐性原理1111231LTMMLLLTacb111L:13abc1T:2c1M:1a11a21b21c221vdD12eRdv同理（3）写出无量纲方程0),(122eRvdDF22()eDfRdv1622dvCA228()42evdfR1111cbavdD2222abcdv例9-4根据实验，某气体管流现象的物理方程为0),,,,,,(ldvpf压强损失：气体密度：流速：动力粘度：管径：管长：管壁粗糙度：pvdlp试用定理推导气体管路压强损失公式。[解]dv（1）取、、作为三个基本量，求各项1111cbavdp2222cbavd3333cbavdl4444abcdv17（2）根据量纲和谐性原理，略去具体计算步骤，求得各项结果为21vpeRdv12dl3d40),,1,(2ddlRvpFe2),,(vddlRfpe222(,)22elvlvpfRddd（3）写出无量纲方程),(2dRfe18§9-2相似的基本概念一、几何相似模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。mplllCmp长度比尺lC面积比尺222lmpmpACllAAC体积比尺333lmpmpVCllVVC1920几何相似的意义：几何相似是力学相似的前提，只有在几何相似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对应点其它物理量之间的相似。21二、运动相似两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即mpuuuC速度比尺ppppmlvmmmptmlvtltCClvltCt加速度比尺2ppppmlammmptmvatvtCCvavtCt时间比尺mptttC重力加速度比尺1pgmgCg222324运动相似是模型实验的真正目的。运动相似的意义：三、动力相似两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例，即mpmpmpmpmpmpFIISSEEPPGGTTC粘性力重力压力弹性力表面张力惯性力TGPESI力的比尺密度比尺mpC粘度比尺mpC25条件：2对应点上同物理性质的力方向相对应，大小成比例。1几何相似；根据达郎贝尔原理，对于运动的质点，设想加上该质点的惯性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封闭力多边形。因此动力相似又可表述为相应点上的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例。26动力相似的意义：动力相似是力学相似的保证，是力学相似的主导因素。运动相似是动力相似的表征。27四、初始条件和边界条件相似1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的必要条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件则失去了意义。3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。281.雷诺准则（粘性力准则）ppmmTITIpppmmmpmvlvlppmmpmvlvlevdR雷诺数()()epemRR雷诺准则：粘性力起主要作用。§9-3相似准则mpmpmpmpmpmpFIISSEEPPGGTTCpmmpIITT2duvTAlvldyl3222lImalvlt292.佛汝德准则（重力准则）mmmpppglvglv222rvFlg佛汝德数mrprFF)()(佛如德准则：重力起主要作用。mpmpmpmpmpmpFIISSEEPPGGTTCppmmGIGIpmpmIIGG3222lImalvlt3Gmglg303.欧拉准则（压力准则）22mmmpppvpvp2vpEu欧拉数mupuEE)()(欧拉准则：动压力起主要作用。mpmpmpmpmpmpFIISSEEPPGGTTC31ppmmPIPIpmpmIIPP3222lImalvlt2PpApl