全概率公式的推广及应用

全概率公式的推广及应用摘要全概率公式是概率论中的重要公式，在实际生活中有广泛的应用，但适用条件比较严格.本文给出五种全概率公式的推广形式，弱化了全概率公式事件列是互不相容的条件，拓展了使用范围，最后给出了相关的应用.关键词概率空间;事件;全概率公式GeneralizationandApplicationsofFullprobabilityformulaXiaoyeChengSchoolofmathematicsandcomputerscienceAbstractFullprobabilityformulaisoneofthemostimportantformulainprobabilitytheory.Ithasbeenusedwidelyinreallife.However,theconditionsofthisformulaisverystrict.Inthispaper,wegivefivekindsofgeneralizedformula,whichweakentheincompatibleconditionsinfullprobabilityformula.Inthelastsection,wegivesomeexamplestoshowtheapplicationsofthesegeneralizedfullprobabilityformula.Keywordsprobabilityspace;events;fullprobabilityformula1、引言我们学习了事件和概率，知道一个复杂事件的发生往往由多种条件导致，这时它的概率往往不易直接求得，在这种情况下复杂事件的概率就需要使用全概率公式，但全概率公式的使用条件比较有限，所以扩大全概率公式的使用范围，推广全概率公式是本文研究的内容.全概率公式是概率论中最基本的公式之一，提供了计算复杂函数概率的一条有效途径，往往能使一个复杂函数的概率计算问题简化，但全概率公式的适用条件限制了它的使用范围，因此将全概率公式的条件弱化，扩大它的使用范围就成为我们研究的目标.本文给出了五种全概率公式的推广形式，进一步拓展了全概率公式的使用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工.22、全概率公式的推广及应用对自然现象的一次观察叫做实验，随机实验的每一个可能的结果，称为基本事件.因为随机实验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，它们的全体，称作样本空间，通常用字母表示.若事件A与B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB=,则称事件A与B互不相容.（全概率公式）设B1,B2,…是一列互不相容的事件，且有1iBi=,P(Bi)0,i=1,2…，则对任一事件A，有)(Ap=1i)(iBp)|(iBAp.全概率公式说明目标事件A发生的概率是在划分iB（i=1,2,…）基础上两两互拆事件组）,2,1(iABi的概率之和，可视为：iB为A的诱发事件，)(iABP为诱发成功的可能.若A已发生，则来自iB诱发成功的可能是)()(APABPi,这是一个条件概率)|(ABPi,使用乘法公式和全概率公式之后就得到推广一：推广一：设B1,B2,…，Bn互不相容，且niiB1=，m个事件A1,A2,Am中的Aj（j=1,2,…m）只能与事件B1,B2,…，Bn之一同时发生，即Aj=inijBA1（j=1,2,…m）.则有)(i)(jAP)|()(1ijniiBAPBP（j=1,2,…m）(ii))()|()()|(ijijijBPABPAPBAP（i=1,2,…n;j=1,2,…m）证明：因为m个事件A1,A2,Am中的Ajj=1,2,…m）只能与事件B1,B2,…，Bn之一同时发生，即Aj=inijBA1（j=1,2,…m）3则niijjBAPAP1)()(=)|()(1ijniiBAPBP（j=1,2,…m）由贝叶斯公式知)()|()()|(ijijijBPABPAPBAP注：(1)全概率公式及其两个推广要求事件列Bi两两互不相容，往往限制了全概率公式的应用范围，以下两种推广后的全概率公式的形式则减弱了事件列的条件.贝叶斯公式给出了全概率公式的反向利用，在实际问题中有很好的应用.(2)推广一中的公式可以用矩阵的方式表现，在求多个事件的概率时更易操作.(i)因为P(Aj)=)|()(1ijniiBAPBP（j=1,2,…m）即)|()()|()()|()()(12121111nnBAPBPBAPBPBAPBPAP)|()()|()()|()()(22221212nnBAPBPBAPBPBAPBPAP…………………………………………)|()()|()()|()()(2211nmnmmmBAPBPBAPBPBAPBPAP按矩阵的乘法有)()()()|()|()|()|()|()|()|()|()|()()()(2121222121211121nnmmmnnmBPBPBPBAPBAPBAPBAPBAPBAPBAPBAPBAPAPAPAP(ii))|()|()|()|()|()|()|()|()|(212222111211nmnnmmBAPBAPBAPBAPBAPBAPBAPBAPBAP)(1000)(1000)(121nBPBPBP)(000)(000)()|()|()|()|()|()|()|()|()|(21212221212111mmnnnmmAPAPAPABPABPABPABPABPABPABPABPABP例1、某厂有号码1，2，3的箱子个数分别为1n,2n,3n,其中1号箱子装有一等品1a件,二等品1b件,三等品1c件；2号箱子装有一等品2a件，二等品2b件，三等品2c件，3号箱子装有一等品3a件，二等品3b件，三等品3c件，现任4选一个箱子，并从中任取一件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？解：设jD:“取出的一件是j号箱的”，（j=1,2,3）,且31jjD=,A:取出的一件是一等品B:取出的一件是二等品C:取出的一件是三等品由条件知321)(nnnnDPjj(j=1,2,3),11111)|(cbaaDAP22222)|(cbaaDAP33333)|(cbaaDAP11111)|(cbabDBP22222)|(cbabDBP33333)|(cbabDBP11111)|(cbacDCP22222)|(cbacDCP33333)|(cbacDCP则)|()()|()()|()()(332211DAPDPDAPDPDAPDPAP=))(())(())((321333333212222232111111nnncbanannncbanannncbana)|()()|()()|()()(332211DBPDPDBPDPDBPDPBP=))(())(())((321333333212222232111111nnncbanbnnncbanbnnncbanb)|()()|()()|()()(332211DCPDPDCPDPDCPDPCP=))(())(())((321333333212222232111111nnncbancnnncbancnnncbanc例2、炮弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，这三种弹片击中坦克的概率依次分别为0.1、0.3、0.6，若这三种弹片击中坦克，则其击穿坦克的概率依次分别为0.9、0.2、0.05，已知坦克被弹片击穿，求坦克被大、中、小弹片击穿的各情况的概率.解：设B：“坦克被弹片击穿“1A:“大弹片击中坦克”，则1.0)(1AP;52A:“中弹片击中坦克”，则3.0)(2AP;3A:“小弹片击中坦克”，则6.0)(3AP;并且1A+2A+3A=;05.0)|(,2.0)|(,9.0)|(321ABPABPABP.坦克被弹片击中的概率)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP=0.118.005.06.02.03.09.02118.09.01.0)()|()()|(111BPABPAPBAP3118.02.03.0)()|()()|(222BPABPAPBAP6118.005.06.0)()|()()|(333BPABPAPBAP由例1、2知用矩阵法求多个事件的概率时更简洁方便，在实际问题的解决中学会利用已学习的知识更好的解决问题.推广二：设）,2,1(iAi和),2,1(mjBj是先后两个实验过程中的划分，C为目标事件，当mjniBAPBPAPCPjiji,2,1;,2,1,0)(,0)(,0)(,0)(时，则有（1）nimjjiijiBACPABPAPCP11)|()|()()(;(2))()|()|()()|(1CPBACPABPAPCAPmjjiijiii=1,2,…,n;)()|()|()()|(1CPBACPABPAPCBPnijiijijj=1,2,…,m;)()|()|()()|(CPBACPABPAPCBAPjiijijii=1,2,…，n;j=1,2,…，m.例3、已知甲、乙两个口袋中各装有3个白球和5个黑球.现从甲袋中任取1个6球然后放入乙袋中，再从乙袋中任取1个球再放回到甲袋中，最后从甲袋中取出1个球，试问：（1）最后从甲袋中取出的1个球是黑球的概率;（2）已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次从甲袋中取出的也是黑球的概率;（3）已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第二次从乙袋中取出的也是黑球的概率;（4）已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次和第二次取出的都是黑球的概率.解：设iA表示“从甲中取出i个黑球放入乙中”，i=0,1；jB表示“从乙中取出i个黑球又放回甲中”，j=0,1;C表示“第二次从甲中取出1个黑球”.由题意可得83)(0AP85)(1AP94)|(00ABP95)|(01ABP93)|(10ABP96)|(11ABP85)|(00BACP86)|(10BACP84)|(01BACP85)|(11BACP(1)由全概率推广公式得1010)|()|()()(ijjiijiBACPABPAPCP=859685849385869583859483=85.(2)由推广二（2）得)()|()|()()|(101111CPBACPABPAPCAPjjj=127858596849385.同理可得（3）和（4）.)()|()|()()|(10111CPBACPABPAPCBPiiii7=3285859685869583)()|()|()()|(1111111CPBACPABPAPCBAP=12585859685.我们可进一步思考：若已知最后从甲袋中取出的是黑球，则它是第一次从甲取出的那个黑球的概率？已知最后从甲袋中取出的是黑球，则此球是乙袋中黑球的概率？设这两个事件的概率分别为21,PP,则1P72191812P9185819583819585.推广三：设（，F,P）为概率空间，且BiF，i=1,2,…n,如果有(1))(jiBBp=0(ij);(2)niiB1;(3))(iBp0;则AF有P(A)=)|()(1iniiBAPBP.证明：AF，(2)知A=A(niiB1)=niiAB1，由概率的一般加法公式知p(A)=p(niiAB1)=)()1()()(21111nnjinjiini