椭圆的定义及性质

椭圆一．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.两焦点的距离∣F1F2∣叫椭圆的焦距（2c）.1.动画演示2.椭圆定义的符号表述：aPFPF221(2a2c)注意：1.当2a2c时,轨迹是椭圆2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点的线段．3.当2a2c时,无轨迹,图形不存在.4.当c=0时,轨迹为圆．二.椭圆的标准方程)0(12222babyax＝)0(12222babxay＝(1)焦点在x轴(2)焦点在y轴看分母大小12yoFFPx1oFyx2FP三.椭圆的几何性质让我们一起研究标准方程为:标准方程为:的椭圆的性质的椭圆的性质首先，我们有：2a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c02a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c02a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c0)0(12222babyaxF2F1xy椭圆关于x轴、y轴、原点对称.OB1A1A2y可得x=a在中令y=0，12222byax从而：A1(-a,0),A2(a,0)同理：B1(0,-b),B2(0,b)A1OB2B1A2xyOB2B1A1A2xy线段A1A2叫椭圆的长轴:线段B1B2叫椭圆的短轴:长为2a长为2bF2F1OB2B1A1A2xy横坐标的范围：纵坐标的范围：-axa-byb122ax所以22ax由式子知12222byax从而：-axa我们把两焦点F1、F2的距离叫椭圆的焦距所以∣OF1∣=∣OF2∣=c因此焦点F1(-c,0)、F2(c,0)∣F1F2∣=2cOxy把椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即aceOxy所以e∈(0，1)e越接近于0，椭圆越圆；e越接近于1，椭圆越扁.条件2a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c0标准方程图形对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0,±b)范围焦点焦距离心率椭圆的标准方程及其简单几何性质)0(12222babyax,axabyb(-c,0)和(c,0)(0,-c)和(0,c))0(12222babxay,ayabxb曲线关于x轴、y轴、原点对称长轴顶点(0,±a)短轴顶点(±b,0)1.已知椭圆29x+25y=1上一点P到一个焦点的距离为2,则P到另一个焦点的距离为()(A)1(B)4(C)2(D)25-2解析:B基础自测aPFPF221由椭圆方程得a=3,由椭圆定义知所以P到另一个焦点的距离为6-2=4.2.椭圆22168xy=1的离心率为()(A)13(B)12(C)33(D)22解析:由椭圆方程知a2=16,b2=8,∴c2=a2-b2=16-8=8,∴e=22242ca.D3.已知椭圆5x2+ky2=5的一个焦点坐标为(0,2),那么k等于()(A)-1(B)1(C)5(D)-5解析:椭圆方程化为x2+25yk=1,由题意知251,512,kk解得k=1.B4.已知方程2222xymm=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是()(A)(-∞,-1)∪(2,+∞)(B)(-2,+∞)(C)(-1,2)(D)(-2,-1)∪(2,+∞)D解析:由题意得22,20,mmm解得m2或-2m-1.5.已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率为55,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为.解析:由题意可设椭圆方程为2222xyab=1,则222251,525161,baab解方程组得2245,36.ab即椭圆方程为224536xy=1.224536xy=16.已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为35,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为.解析:设椭圆的方程为2222xyab=1(ab0),则已知222354,,cababc解得5,4,3,abc所以椭圆方程为222516xy=1.=1.=1.=1条件2a2c,a2=b2+c2,a0,b0,c0标准方程图形范围对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0,±b)焦点焦距离心率小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质)0(12222babyax,axabyb(-c,0)和(c,0)(0,-c)和(0,c))0(12222babxay,ayabxb曲线关于x轴、y轴、原点对称长轴顶点(0,±a)短轴顶点(±b,0)