导数与微分在经济学中的简单应用

第3章导数与微分§3.6导数与微分在经济学经济变量称为总函数，其对应的导数就称之为总函数的边际函数.中的简单应用在经济学中，通常把代表成本C、收益R、利润L等第3章导数与微分例1).('qCMC.)(')()(qqCqCqqC).(')()1(qCqCqC(边际成本)设厂商的成本函数为C=C(q)(q是产量)，则边际成本为当∆q较小时有在经济分析中把产量增加一个单位认为是微小改变，从而有因此，边际成本MC表示产量为q时生产1个单位产品所花费的成本.第3章导数与微分例2).()(qpqqRR).('qRMR＝).(')()1(qRqRqR(边际收益)设厂商的需求函数为p=p(q)(q是产量，p为产品的销售价格).则厂商的收益为边际收益为类似地，有因此，边际成本MR表示销量为q时销售1个单位产品所增加的收入.第3章导数与微分例3，)()()(qCqRqLL()()().MLLqRqCq'()MLLq(边际利润)在例1和例2的记号下，厂商的利润函数为则边际利润为表示销量为q时，销售1因此边际利润个单位产品所增加的利润.第3章导数与微分弹性分析设y=f(x)是一个经济函数，x在的改变量0xx0000()()()yfxyfxxfx相应的在处的改变量为000()limxxxyyfxx导数但在经济学中，常常需要知道00xx当x在x改变一个百分数时即=1%00yyy在y改变多少个百分数=?，00yyxx即,要求第3章导数与微分弹性定义：设y=f(x)是一个经济函数，x在的改变量0xx0000()()()yfxyfxxfx相应的在处的改变量为00000lim,xxxyyxxEyxEx如果极限,存在，则称此极限为y=f(x)在点的弹性，记为()EyExEyxyfxEx在任意一点x的弹性记为，作为的函数称为弹性函数第3章导数与微分00d,limlim()dxxyEyxyxyxyfxxExyxyxyx00000001%(%)xxxxxEyyxExyEyEx由弹性定义得：当时,，（实际含义）即当自变量x在点x增加1%时，因变量y在y=f(x)近似地改变个百分数000()xyfxxEyxEx由此可见，只要在点可导，在的弹性就存在。第3章导数与微分例3供给价格弹性•设S=S(p)是市场对某一种商品的供给函数，其中p是商品价格，S是市场的供给量，•则ESpEps=S(p)SS(p)S(p)0SSpESEpEEp由于一般随的上升而增加，，当p0时，s0，故0其意义是：当价格从p上升1%时，市场供给量从(p)增加个百分数第3章导数与微分例4dD().dpEDppEDpEpDpD(需求价格弹性)设人们对某商品的需求量为D=D(P)，其价格为p，则人们对该商品的需求价格弹性为D(p)D(p)0DDpDEDEpEEp由于D一般是单调递减函数，，当p0时，0，经济学中习惯于正数，添加“”后可使0其意义是：当价格从p上升1%时，需求量从(p)减少个百分数第3章导数与微分例5(收益弹性)R=R(p)R=pD(p)()()(p)=D(p)-D(p)D(p)(1-)EDEDRpDppDEpEp如果是收益函数，则EDEpEDEpEDEp当1时，R(p)0,从而随价格的上升收益会减少;当1时，R(p)0,从而随价格的上升收益会增加；当=1时，R(p)=0,收益相对于价格处于临界状态。第3章导数与微分例5、需求收入弹性•设人均收入为M，对该种商品的需求量为Q，则Q=Q(M)为单调增加函数，其弹性EQMEMQ=Q(M)称为需求收入弹性第3章导数与微分例6，设某商品的市场需求函数为求91)2),31pEDEpEDEpEDEp并说明其实际意义）时的价格，并说明这是的收益情况。153pD9111)D(p)=-,()3345(15)3912)0.254594DD.2D.2pEDpppDppEpDpEDEpEEpEEp解：当价格p从9上升1%时，该商品需求量(9)=12台基础上下降=05%=05%1，当价格上涨时收益能够增加。第3章导数与微分2453114522.5452()()15.()31545122()3675()4EDEDppppEpEpppRPpDpppRP）时，这时,R(P)=0一元二次函数求最值当对称轴时，即p=-=对应的函数值最大