步步高第三章-3.3

§3.3导数的综合应用数学北（理）第三章导数及其应用基础知识题型分类思想方法练出高分1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习基础知识题型分类思想方法练出高分2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345D(－2,2)基础知识·自主学习Df(a)f(b)(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一利用导数证明不等式【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．题型分类·深度剖析(1)设公共点为(x0，y0)，则f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)可得a，b的关系；思维启迪解析思维升华题型一利用导数证明不等式(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)的最值．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．题型分类·深度剖析(1)解设两曲线的公共点为(x0，y0)，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2x，思维启迪解析思维升华由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即12x20＋2ax0＝3a2lnx0＋b，x0＋2a＝3a2x0.题型一利用导数证明不等式由x0＋2a＝3a2x0，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．题型分类·深度剖析即有b＝12a2＋2a2－3a2lna＝52a2－3a2lna.令h(t)＝52t2－3t2lnt(t0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)．思维启迪解析思维升华于是当t(1－3lnt)0，即0te31时，h′(t)0；当t(1－3lnt)0，即te31时，h′(t)0.题型一利用导数证明不等式基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．题型分类·深度剖析故h(t)在(0，e31)上为增函数，在(e31，＋∞)上为减函数，于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e31)＝32e32，思维启迪解析思维升华即b的最大值为32e32.题型一利用导数证明不等式基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．题型分类·深度剖析(2)证明设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋2ax－3a2lnx－b(x0)，则F′(x)＝x＋2a－3a2x＝x－ax＋3ax(x0)．思维启迪解析思维升华故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数．题型一利用导数证明不等式于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x0时，f(x)≥g(x)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．题型分类·深度剖析利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数，并求其单调区间；(2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．思维启迪解析思维升华题型一利用导数证明不等式基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1当0xπ2时，求证：tanxx＋x33.证明设f(x)＝tanx－x＋x33，题型分类·深度剖析则f′(x)＝1cos2x－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx－x)(tanx＋x)．因为0xπ2，所以xtanx(简单进行证明亦可)，所以f′(x)0，即x∈0，π2时，f(x)为增函数．所以x∈0，π2时，f(x)f(0)．而f(0)＝0，所以f(x)0，即tanx－x＋x330.故tanxx＋x33.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析题型二利用导数求参数的取值范围思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析(1)解f′(x)＝0，根据函数值的变化得到单调区间、极值；思维启迪解析思维升华(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况．题型二利用导数求参数的取值范围基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnx＋ax2.思维启迪解析思维升华令f′(x)＝0，得x＝e1－a，当x∈(0，e1－a)时，f′(x)0，f(x)是增函数；题型二利用导数求参数的取值范围当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)是减函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a]，基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析单调递减区间为[e1－a，＋∞)，极大值为f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值．思维启迪解析思维升华(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx＋a－1x，题型二利用导数求参数的取值范围则F′(x)＝－lnx＋2－ax2.令F′(x)＝0，得x＝e2－a；令F′(x)0，得xe2－a；令F′(x)0，得xe2－a，基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析故函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围在区间[e2－a，＋∞)上是减函数．①当e2－ae2，即a0时，函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，在区间[e2－a，e2]上是减函数，F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2.又F(e1－a)＝0，F(e2)＝a＋1e20，基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析由图像，易知当0xe1－a时，F(x)0；思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围当e1－ax≤e2，F(x)0，此时函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有1个公共点．②当e2－a≥e2，即a≤0时，F(x)在区间(0，e2]上是增函数，F(x)max＝F(e2)＝a＋1e2.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围若F(x)max＝F(e2)＝a＋1e2≥0，即－1≤a≤0时，函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上只有1个公共点；若F(x)max＝F(e2)＝a＋1e20，即a－1时，函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上没有公共点．综上，满足条件的实数a的取值范围是[－1，＋∞)．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析函数零点或函数图像交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，题型分类·深度剖析当a0时，对x∈R，有f′(x)0，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a0时，由f′(x)0，解得x－a或xa.由f′(x)0，解得－axa，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若