导数各类题型方法总结(绝对经典)

第一章导数及其应用一，导数的概念1..已知xfxfxxfx)2()2(lim,1)(0则的值是（）A.41B.2C.41D.－2变式1：为则设hfhffh233lim,430（）A．－１Ｂ．－2C．－3D．1变式2：00003,limxfxxfxxfxxx设在可导则等于（）A．02xfB．0xfC．03xfD．04xf导数各种题型方法总结请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('xf得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；（请同学们参看2010省统测2）例1：设函数()yfx在区间D上的导数为()fx，()fx在区间D上的导数为()gx，若在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()yfx在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，4323()1262xmxxfx（1）若()yfx在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间,ab上都为“凸函数”，求ba的最大值.解:由函数4323()1262xmxxfx得32()332xmxfxx2()3gxxmx（1）()yfx在区间0,3上为“凸函数”，则2()30gxxmx在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max()0gx(0)0302(3)09330gmgm解法二：分离变量法：∵当0x时,2()330gxxmx恒成立,当03x时,2()30gxxmx恒成立等价于233xmxxx的最大值（03x）恒成立，而3()hxxx（03x）是增函数，则max()(3)2hxh2m(2)∵当2m时()fx在区间,ab上都为“凸函数”则等价于当2m时2()30gxxmx恒成立-22变更主元法再等价于2()30Fmmxx在2m恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230FxxxFxx2ba例2：设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[aax不等式()fxa恒成立，求a的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）22()433fxxaxaxaxa01a令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，)(xf极小值=;433ba当x=3a时，)(xf极大值=b.（Ⅱ）由|)(xf|≤a，得：对任意的],2,1[aax2243axaxaa恒成立①则等价于()gx这个二次函数maxmin()()gxagxa22()43gxxaxa的对称轴2xa01,a12aaaa（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()gx这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。22()43[1,2]gxxaxaaa在上是增函数.（9分）∴maxmin()(2)21.()(1)44.gxgaagxgaa于是，对任意]2,1[aax，不等式①恒成立，等价于3aa()fxa3a2xa1,2aa(2)44,41.(1)215gaaaagaaa解得又,10a∴.154a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数32()fxxax图象上一点(1,)Pb处的切线斜率为3，326()(1)3(0)2tgxxxtxt（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）当[1,4]x时，求()fx的值域；（Ⅲ）当[1,4]x时，不等式()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围。解：（Ⅰ）/2()32fxxax∴/(1)31fba，解得32ab（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在[1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff∴()fx的值域是[4,16]（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2thxfxgxxtxx思路1：要使()()fxgx恒成立，只需()0hx，即2(2)26txxx分离变量思路2：二次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．（Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．解：)14()1(41)(2axaxxf.（Ⅰ）∵()fx是偶函数，∴1a.此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，令0)(xf，解得：32x.列表如下：x(－∞,－23)－23(－23,23)23(23,+∞))(xf+0－0+)(xf递增极大值递减极小值递增可知：()fx的极大值为34)32(f，()fx的极小值为34)32(f.（Ⅱ）∵函数)(xf是),(上的单调函数，∴21()(1)(41)04fxxaxa，在给定区间R上恒成立判别式法则221(1)4(41)204aaaa，解得：02a.综上，a的取值范围是}20{aa.例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想（I）2()(2)1(1)(1).fxxaxaxxa1、20,()(1)0,afxx当时恒成立当且仅当1x时取“=”号，()(,)fx在单调递增。a-1-1()fx2、12120,()0,1,1,,afxxxaxx当时由得且单调增区间：(,1),(1,)a单调增区间：(1,1)a（II）当()[0,1],fx在上单调递增则0,1是上述增区间的子集：1、0a时，()(,)fx在单调递增符合题意2、0,11,a，10a1a综上，a的取值范围是[0，1]。三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数．（1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．解：（1）由题意xkxxf)1()(2∵)(xf在区间),2(上为增函数，∴0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立（分离变量法）即xk1恒成立，又2x，∴21k，故1k∴k的取值范围为1k（2）设312)1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，)1)(()1()(2xkxkxkxxh令0)(xh得kx或1x由（1）知1k，①当1k时，0)1()(2xxh，)(xh在R上递增，显然不合题意…②当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：x),(kk)1,(k1),1()(xh0—0)(xh↗极大值312623kk↘极小值21k↗由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根，故需0312623kk，即0)22)(1(2kkk∴02212kkk，解得31k综上，所求k的取值范围为31k根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数321()22fxaxxxc（1）若1x是()fx的极值点且()fx的图像过原点，求()fx的极值；（2）若21()2gxbxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数()gx的图像与函数()fx的图像恒有含1x的三个不同交点若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。解：（1）∵()fx的图像过原点，则(0)00fc2()32fxaxx，又∵1x是()fx的极值点，则(1)31201faa2()32(32)(1)0fxxxxx3()(1)2fxf极大值222()()37fxf极小值（2）设函数()gx的图像与函数()fx的图像恒存在含1x的三个不同交点，等价于()()fxgx有含1x的三个根，即：1(1)(1)(1)2fgdb3221112(1)222xxxbxxb整理得：即：3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根（计算难点来了：）3211()(1)(1)022hxxbxxb有含1x的根，则()hx必可分解为(1)()0x二次式，故用添项配凑法因式分解，23-1()fx3x22xx211(1)(1)022bxxb2211(1)(1)(1)022xxbxxb221(1)(1)2(1)02xxbxxb十字相乘法分解：21(1)(1)(1)102xxbxbx211(1)(1)(1)022xxbxb3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根等价于211(1)(1)022xbxb有两个不等于-1的不等实根。2211(1)4(1)04211(1)(1)(1)022bbbb(,1)(1,3)(3,)b题2：切线的条数问题====以切点0x