正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．考点自测1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．解析记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos120°，解得a＝10，故S＝12×10×6×sin120°＝153.答案1532．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．解析由正弦定理，知BCsin60°＝ABsin180°－60°－75°.解得BC＝56(海里)．答案563．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/时．解析由正弦定理，得MN＝68sin120°sin45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝1762(海里/时)．答案17624．在△ABC中，若23absinC＝a2＋b2＋c2，则△ABC的形状是________．解析由23absinC＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2abcosC相加，得a2＋b2＝2absinC＋π6.又a2＋b2≥2ab，所以sinC＋π6≥1，从而sinC＋π6＝1，且a＝b，C＝π3时等号成立，所以△ABC是等边三角形．答案等边三角形5．(2010·江苏卷)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB的值是________．解析利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为ba＋ab＝6cosC，由余弦定理得a2＋b2ab＝6·a2＋b2－c22ab，即a2＋b2＝32c2.而tanCtanA＋tanCtanB＝sinCcosCcosAsinA＋cosBsinB＝sinCcosC·sinCsinAsinB＝c2ab·a2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝2c232c2－c2＝4.答案4考向一测量距离问题【例1】如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.(1)求证：AB＝BD；(2)求BD.(1)证明在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.(2)解在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620(km)，因此，BD＝32＋620(km)故B、D的距离约为32＋620km.[方法总结](1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．(3)应用题要注意作答．【训练1】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C，D两点，同时测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解如题图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝3(千米)．在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，可得BC＝3sin75°sin60°＝6＋22(千米)．在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，即AB2＝(3)2＋6＋222－23·6＋22cos75°＝5，∴AB＝5(千米)．所以两目标A，B间的距离为5千米．考向二测量高度问题【例2】(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？解(1)由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD得Htanα＋htanβ＝Htanβ解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d＝AB，得tanα＝Hd.由AB＝AD－BD＝Htanβ－htanβ，得tanβ＝H－hd，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝hd＋HH－hd≤h2HH－h，当且仅当d＝HH－hd，即d＝HH－h＝125×125－4＝555时，上式取等号．所以当d＝555时，tan(α－β)最大．因为0βαπ2，则0α－βπ2，所以当d＝555时，α－β最大．故所求的d是555m.[方法总结](1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝stanθsinβsinα＋β.考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)km的B处有一艘“敌舰”．在A处北偏西75°的方向，距离A2km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以103km/h的速度追截“敌舰”．此时，“敌舰”正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解设“大连号”用th在D处追上“敌舰”，则有CD＝103t，BD＝10t，如图在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”．[方法总结]用解三角形知识解决实际问题的步骤：第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中．第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形．第四步：将所得结果转化为实际问题的结果．【训练3】(2013·广州二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°.即sinα＝ABsin120°BC＝12×3228＝3314.高考经典题组训练1．(四川卷改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝________.解析在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝2，EC＝5，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝ED2＋EC2－CD22ED·EC＝2＋5－12×2×5＝31010.∴sin∠CED＝1010.答案10102．(2011·新课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．解析由正弦定理知ABsinC＝3sin60°＝BCsinA，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋3cosC＋sinC)＝2(2sinC＋3cosC)＝27sin(C＋α)，其中tanα＝32，α是第一象限角．由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值27.答案273．(湖北卷改编)若△ABC的三边长为连续三个正整数，且ABC,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝________.解析由ABC，得abc.设a＝c＋2，b＝c＋1，则由3b＝20acosA，得3(c＋1)＝20(c＋2)·c＋12＋c2－c＋222c＋1c，即3(c＋1)2c＝10(c＋1)(c＋2)(c－3)，解得c＝4，所以a＝6，b＝5.答案6∶5∶44.(2·陕西卷)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△ADB中，由正弦定理得DBsin∠D