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《激光原理》习题解答第一章习题解答1为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM，它的单色性应为多少？0λλ∆解答：设相干时间为，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即τcLc⋅=τ根据相干时间和谱线宽度的关系cLc==∆τν1又因为，，00γνλλ∆=∆00λνc=nm8.6320=λ由以上各关系及数据可以得到如下形式：单色性===00ννλλ∆=∆cL0λ101210328.61018.632−×=×nmnm解答完毕。2如果激光器和微波激射器分别在10μｍ、500nm和输出1瓦连续功率，问每秒钟ZMH3000=γ从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在dt时间内输出的能量为dE，则功率=dE/dt激光或微波激射器输出的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即d，其中n为dt时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在dtνnhE=时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为ν）。由以上分析可以得到如下的形式：ννhdthdEn×==功率每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到：()()()13410626.61−−×⋅×====ssJhdtnNsJνν功率每秒钟发射的光子数根据题中给出的数据可知：zHmmsc13618111031010103×=××==−−λνzHmmsc1591822105.110500103×=××==−−λνzH63103000×=ν把三个数据带入，得到如下结果：，，19110031.5×=N182105.2×=N23310031.5×=N3设一对激光能级为E1和E2（f1=f2），相应的频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求(a)当ν=3000兆赫兹，T=300K的时候，n2/n1=?(b)当λ=1μm，T=300K的时候，n2/n1=?(c)当λ=1μm，n2/n1=0.1时，温度T=？解答:在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即：（统计权重）TKEETkhffnnbb)(expexp121212−−=−=ν21ff=其中为波尔兹曼常数，T为热力学温度。1231038062.1−−×=JKkb(a)()()99.01038062.110626.6expexp1233412=×⋅××⋅×−=−=−−−TkJsJTkhnnbνν(b)()()2112334121038.11038062.110626.6expexp−−−−×=×⋅××⋅×−=−=TkJcsJTkhnnbλν(c)()KnnkcsJnnkhTbb31234121026.6ln10626.6ln×=××⋅×−=×−=−λν4在红宝石调Q激光器中，有可能将几乎全部离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。设红3+rC宝石棒直径为1cm，长度为7.5cm，离子浓度为，巨脉冲宽度为10ns，求激光的最大3+rC319102−×cm能量输出和脉冲功率。解答：红宝石调Q激光器在反转能级间可产生两个频率的受激跃迁，这两个跃迁几率分别是47%和53%，其中几率占53%的跃迁在竞争中可以形成694.3nm的激光，因此，我们可以把激发到高能级上的粒子数看成是整个激发到高能级的粒子数的一半（事实上红宝石激光器只有一半的激发粒子对激光有贡献）。3+rC设红宝石棒长为L，直径为d，体积为V，总数为N，粒子的浓度为n，巨脉冲的时间宽度3+rC3+rC为，则离子总数为：τ3+rC42LdnVnNπ×=×=根据前面分析部分，只有N/2个粒子能发射激光，因此，整个发出的脉冲能量为：=×=×=νπνhnLdhNE822脉冲功率是单位时间内输出的能量，即解答完毕。===τνπτ82hnLdEP5试证明，由于自发辐射，原子在能级的平均寿命为。2E211As=τ证明如下：根据自发辐射的定义可以知道，高能级上单位时间粒子数减少的量，等于低能级在单位时间内粒子数的增加。即：---------------①（其中等式左边表示单位时间内高能级上粒子数的变化，spdtdndtdn⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=212高能级粒子数随时间减少。右边的表示低能级上单位时间内接纳的从高能级上自发辐射下来的粒子数。）再根据自发辐射跃迁几率公式：，把代入①式，221211ndtdnA×=22121nAdtdnsp=⎟⎠⎞⎜⎝⎛得到：2212nAdtdn−=对时间进行积分，得到：（其中随时间变化，为开始时候的高能级()tAnn21202exp−=2n20n具有的粒子数。）按照能级寿命的定义，当时，定义能量减少到这个程度的时间为能级寿命，用字母表示。1202−=ennsτ因此，，即：证明完毕121=sAτ211As=τ6某一分子的能级E4到三个较低能级E1E2和E3的自发跃迁几率分别为A43=5*107s-1,A42=1*107s-1,A41=3*107s-1，试求该分子E4能级的自发辐射寿命τ4。若τ1=5*10-7s，τ2=6*10-9s，τ3=1*10-8s，在对E4连续激发且达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值n1/n4,n2/n4和n3/n4，并说明这时候在哪两个能级间实现了集居数解:(1)由题意可知E4上的粒子向低能级自发跃迁几率A4为:-1sAAAA77774342414109103101105×=×+×+×=++=则该分子E4能级的自发辐射寿命：sA8744101.110911−×=×==τ结论:如果能级u发生跃迁的下能级不止1条,能级u向其中第i条自发跃迁的几率为Aui则能级u的自发辐射寿命为:∑=iuiNA1τ(2)对E4连续激发并达到稳态,则有:04321=∆=∆=∆=∆nnnn,,414111Ann=τ424221Ann=τ434331Ann=τ（上述三个等式的物理意义是：在只考虑高能级自发辐射和E1能级只与E4能级间有受激吸收过程，见图）宏观上表现为各能级的粒子数没有变化由题意可得:,则414111Ann=τ151051037714141=×××==−−τAnn同理：，06.01061019724242=×××==−−τAnn5.01011058734343=×××==−−τAnn进一步可求得:，25021=nn12.032=nn由以上可知:在E2和E4;E3和E4;E2和E3能级间发生了粒子数反转.7证明，当每个模式内的平均光子数（光子简并度）大于1时，辐射光中受激辐射占优势。证明如下：按照普朗克黑体辐射公式，在热平衡条件下，能量平均分配到每一个可以存在的模上，即（为频率为γ的模式内的平均光子数）γλγhnTkhhEb⋅=−=1expn由上式可以得到：1exp1−⋅==TkhhEnbγγ又根据黑体辐射公式：nchTkhTkhchbb==−⇒−×=333381exp11exp18γπργγγπργγ根据爱因斯坦辐射系数之间的关系式和受激辐射跃迁几率公式，则可2121338BAch=γπγρ2121BW=以推导出以下公式：212121212121338AWABBAchn====γγγρργπρ如果模内的平均光子数（）大于1，即n41A42A43A4E3E2E1E，则受激辐射跃迁几率大于自发辐射跃迁几率，即辐射光中受12121=AWn激辐射占优势。证明完毕8一质地均匀的材料对光的吸收系数为，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光101.0−mm强的百分之几？如果一束光通过长度为1M地均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。解答：设进入材料前的光强为，经过距离后的光强为，根据损耗系数0Iz()zI的定义，可以得到：()()zIdzzdI1×−=α()()zIzIα−=exp0则出射光强与入射光强的百分比为：()()()%8.36%100%100exp%10010001.001=×=×−=×=×−−mmmmzezIzIkα根据小信号增益系数的概念：，在小信号增益的情况下，()()zIdzzdIg10×=上式可通过积分得到解答完毕。()()()()14000000001093.610002lnlnlnexpexp−−×====⇒=⇒=⇒=mmzIzIgIzIzgIzIzgzgIzI《激光原理》习题解答第二章习题解答1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。设两个凹镜的曲率半径分别是和，腔长为，根据对称共焦腔特点可知：1R2RLLRRR===21因此，一次往返转换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221RLRLRLRLRRRLLRLDCBAT把条件带入到转换矩阵T，得到：LRRR===21⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001DCBAT共轴球面腔的稳定判别式子()1211+−DA如果或者，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中，()121−=+DA()121=+DA因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式，2T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012T坐标转换公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθrrrTr其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。解答如下：共轴球面腔的，如果满足，则腔()21221222121RRLRLRLDA+−−≡+()1211+−DA是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。对于平凹共轴球面腔，()()22122121222121RLRRLRLRLDA−=+−−=+∞→1R所以，如果，则是稳定腔。因为和均大于零，所以不等式的后半部分一定成立，12112−−RLL2R因此，只要满足，就能满足稳定腔的条件，因此，就是平凹腔的稳定条件。12RL12RL类似的分析可以知道，凸凹腔的稳定条件是：,且。LRR210LRR+21双凹腔的稳定条件是：，（第一种情况）LR1LR2，且（第二种情况）LR1LR2LRR+21（对称双凹腔）221LRRR==求解完毕。3激光腔的谐振腔由一曲率半径为1M的凸和曲率半径为2M的凹面镜构成，工作物质长度为0.5M，其折射率为1.52，求腔长在什么范围内谐振腔是稳定的。1L解答如下：设腔长为，腔的光学长度为，已知，，，1LLIMR−=1MR22=ML5.00=，，11=η52.12=η根据，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：()21221222121RRLRLRLDA+−−=+()2212122212121LLMMLMLMLDA−+=×−−+=+因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。即，代入上式，得到：52.15.015.0120101+−=+−=LLLLLηη()211252.15.015.052.15.015.01121⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−+−+=−+=+LLLLDA要达到稳定腔的条件，必须是，按照这个条件，得到腔的几何长度为：()1211+−DA，单位是米。解答完毕。17.217.11L5有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30CM，方形孔径边长为d=2a=0.12CM，λ=632.8nm，镜的反射率为r1=1，r2=0.96，其他损耗以每程