线性代数电子教案

《线性代数》电子教案张小向东南大学数学系:[e-mail]2007.4.12第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵一.问题§4.2§4.3§4.4习题1(B).23求A11.设P1AP=,P=,=14111002,A=PP1A11=P11P111=100211第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵二.相似矩阵的定义设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为A~B.P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.易见,矩阵间的相似关系满足且A与B相似A与B相抵.但反之未必.(1)反身性:A~A;(2)对称性:A~BB~A;即矩阵间的相似关系是一种等价关系.(3)传递性:A~B,B~CA~C.性质1.设A~B,f是一个多项式,则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+a1P1AP+a0P1EP=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0E=P1(anAn+…+a1A+a0E)P=anBn+…+a1B+a0E=f(B).三.相似矩阵的性质第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵性质2.设A~B,则|A|=|B|.证明:P1AP=B|P1AP|=|B|第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵|P1||A||P|=|P|1|A||P|=|A|=性质3.设A~B,则r(A)=r(B).证明:P1AP=Br(A)=r(B).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…a1nA的迹:tr(A)=a11+a22+…+a1n(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);(2)tr(kA)=ktr(A);(3)tr(AB)=tr(BA).性质4.设A~B,则tr(A)=tr(B).证明:P1AP=B第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵tr(B)=tr(P1AP)=tr(APP1)=tr(A).1.定义:四.相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵A~==P1AP10…002…0…………00…nP=(1,…,n)可逆1,…,n线性无关P1AP=AP=P(A1,…,An)=(11,…,nn)2.条件:第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵定理4.1.Ann~对角矩阵1,…,n和线性无关的1,…,n,s.t.Ai=ii(i=1,…,n).P=(1,…,n),=diag(1,…,n),在此条件下,令则P1AP=.§4.2特征值与特征向量一.定义第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量A=n阶方阵非零向量特征值特征向量对应第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量A=(E–A)=0|E–A|=0特征方程|E–A|=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式E–A特征矩阵特征值特征向量二.计算第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量定理4.2.(1)0为A的特征值|0E–A|=0.(2)为A的对应于0特征向量(0E–A)=0.1.理论依据2.步骤计算|E–A|求|E–A|=0的根求(E–A)x=0的基础解系例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2E–A)x=0即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k11(0kR).kk(0kR).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4E–A)x=0即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k11(0kR).kk(0kR).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量解:|E–A|=(–2)(–1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2E–A)x=0的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(E–A)x=0的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求的特征值和特征向量.201034011A第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量解:|E–A|=(+1)(–2)2.所以A的特征值为1=–1,2=3=2.(–E–A)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=–1的特征向量为kp1(0kR).(2E–A)x=0的基础解系:p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例3.求的特征值和特征向量.314020112A第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量三.性质性质5.设A~B,则|E–A|=|E–B|.性质6.设A=(aij)nn的特征值为1,…,n,则(1)1+…+n=tr(A).(2)1…n=|A|.推论.A可逆1,…,n全不为零.性质7.|E–A|=|E–AT|.例4.设为方阵A的特征值,证明2为A2的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A2)x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x,所以2为A2的特征值.例5.设为方阵A的特征值,证明()=22–3+4.为(A)=2A2–3A+4E的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A)x=(2A2–3A+4E)x=2(A2)x–3Ax+4x=22x–3x+4x=(22–3+4)x=()x,所以()为(A)的特征值.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量例6.设1,2,…,m为方阵A的m个不同的特征值,p1,p2,…,pm为依次对应于这些特征值的特征向量,证明p1,p2,…,pm线性无关.证明:若k1p1+k2p2+…+kmpm=0,则由此可得(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.1122111111mmmmm(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.因而k1=k2=…=km=0.这就证明了p1,p2,…,pm是线性无关的.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件§4.3矩阵可相似对角化的条件定理4.3.Ann~对角矩阵有n个线性无关的特征向量.定理4.4.11,…,s1,…,r2A第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件定理4.5.推论.若Ann有n个不同的特征值,则A可以相似对角化.例1,例2,例3定理4.4.11,…,s1,…,r2A第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件例7.A=1231431a5有一个2重特征值.(1)a=?(2)A是否可以相似对角化?解:|EA|=1231431a5=(2)(28+18+3a).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件例8.A=20000101xB=2000y0001~(1)x=____,y=____.(2)P=__________满足P1AP=B.01100011011第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化§4.4实对称矩阵的相似对角化一.实对称矩阵的特征值和特征向量定理4.7.实对称矩阵的特征值均为实数.事实上,1p1T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,定理4.8.设1,2是实对称矩阵A的两个不同的特征值,p1,p2是对应与它们的特征向量,则p1与p2正交.于是(1–2)p1Tp2=0,但是12,故p1Tp2=0.从而1p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵定理4.9.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得Q–1AQ==diag(1,2,…,n),其中1,2,…,n为A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量组是A的对应于1,2,…,n的标准正交特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化例9.把A=正交相似对角化.解:|E–A|=(–2)(–4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(2E–A)x=0的基础解系1=(0,1,–1)T.(4E–A)x=0的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,将它们单位化即可得400031013Q1AQ=QTAQ=200040004.Q=,0101/201/21/201/2第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化注:对于2=3=4,若取(4E–A)x=0的基础解系2=(1,1,1)T,3=(–1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,再单位化,即得=11113111=23211;Q=(q1,q2,q3)=.01/32/61/21/31/61/21/31/62=3[3,2]||2||2第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化例10.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为(–1)2(–10),且3=(1,2,2)T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交;(2)求A.证明(1):由定理4.8可知()成立.()因为=1是A的二重特征值,所以A有两个线性无关的特征向量1,2对应于=1.注意到1,2,3线性无关,而,1,2,3线性相关,可设=k11+k22+k33,故=k11+k22是对应于=1的特征向量.由[3,]=[3,1]=[3,2]=0得k3=0,第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化解(2):由(1)可知对应于=1两个线性无关的将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵例10.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为(–1)2(–10),且3=(1,2,2)T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交;(2)求A.特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:1=(2,1,2)T,2=(2,2,1)T,Q=,2/32/31/31/32/32/32/31/32/3第四章矩阵的特征值和特征向量§4.4实对称矩阵的相似对角化由此可得A=QQTQ=,2/32/31/31/32/32/32/31/32/3它满足QTAQ=Q1AQ==,1000100010.222254245=