【金版学案】2015-2016学年高中数学-3.3几个三角恒等式课件-苏教版必修4

3．3几个三角恒等式学习目标预习导学典例精析栏目链接1．理解半角公式及和积互化公式的推导过程．2．掌握三角变换的常用方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算的能力．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接求值问题求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．分析：对平方项进行“降次”处理后，原式即是三角函数的和差与积的形式．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：原式＝1－cos20°2＋1＋cos80°2＋sin10°cos40°＝1＋12(cos80°－cos20°)＋sin10°cos40°＝1＋12(－2sin50°sin30°)＋12(sin50°－sin30°)＝1－12sin50°＋12sin50°－14＝34.学习目标预习导学典例精析栏目链接◎规律总结：根据需要，对sin2α－sin2β型分解因式后，可和差化积；对sin2α＋sin2β型用余弦倍角公式降幂后，可和差化积．求sin50°(1＋3tan10°)的值．分析：化切为弦后，再利用两角和、差公式及二倍角公式．解析：原式＝sin50°1＋3sin10°cos10°＝sin50°·12cos10°＋32sin10°·2cos10°＝2cos40°·sin40°·1cos10°＝sin80°cos10°＝1.◎规律总结：在对含有正切的式子化简或求值时，首先考虑化切为弦，再利用正余弦的相关公式找到已知各角之间的联系进而求解．求y＝3sin2x－cos2x＋cos2x－π6的最小正周期与函数的最大值．分析：将函数式化简．解析：y＝2sin2x·cosπ6－cos2x·sinπ6＋cos2x－π6＝2sin2x－π6＋cos2x－π6＝5sin2x－π6·25＋cos2x－π6·15＝5sin2x－π6＋φ.其中tanφ＝12，0＜φ＜π2.∴最小正周期T＝2π2＝π，ymax＝5.◎规律总结：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)是一个比较重要且常用的公式，其中角φ所在象限由a，b的符号确定．角φ的值由tanφ＝ba确定，这也是一种和差化积，它对于研究三角函数的性质很有帮助．变式训练1．log2cosπ9＋log2cos2π9＋log2cos4π9的值为()A.18B．3C．－3D.13解析：原式＝log2cosπ9cos2π9cos4π9＝log28sinπ9cosπ9cos2π9cos4π98sinπ9＝log218＝－3.故选C.答案：C学习目标预习导学典例精析栏目链接化简问题把下列各式化为积的形式：(1)32－2cos2α＋cos4α；(2)2＋sinθ＋15cosθ.分析：分组化积．解析：(1)原式＝12－2cos2α＋(1＋cos4α)＝214－cos2α＋cos22α＝212－cos2α2＝2cosπ3－cos2α2＝8sin2π6＋αsin2π6－α；(2)原式＝2＋414sinθ＋154cosθ＝2＋4sin(θ＋α)＝412＋sin（θ＋α）＝4sinπ6＋sin（θ＋α）＝8sinπ12＋θ＋α2cosπ12－θ＋α2.其中tanα＝15，α为锐角．方法指导：在分组化积的过程中应注意利用升幂公式、特殊角的三角函数值和设置辅助角的方法．化简：(1)sin3x－3sinxcos3x＋3cosx；(2)4sinαsin(60°－α)sin(60°＋α)．分析：(1)倍角化单角；(2)积化和差．解析：(1)原式＝（sin3x－sinx）－2sinx（cos3x＋cosx）＋2cosx＝2cos2xsinx－2sinx2cos2xcosx＋2cosx＝2sinx（cos2x－1）2cosx（cos2x＋1）＝－4sin3x4cos3x＝－tan3x；(2)原式＝4sinα[sin(60°－α)·sin(60°＋α)]＝4sinα－12（cos120°－cos2α）＝sinα＋2sinαcos2α＝sinα＋sin3α－sinα＝sin3α.◎规律总结：为了运用和差化积与积化和差公式，有时需要拆项或升、降次，如(1)；有时要将和式或积式进行分组，如(2)．变式训练2．a＝12cos6°－32sin6°，b＝2tan13°1＋tan213°，c＝1－cos50°2，则有()A．abcB．abcC．acbD．bca解析：∵a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∴acb.故选C.答案：C3．化简：sinA＋2sin3A＋sin5Asin3A＋2sin5A＋sin7A.解析：原式＝（sinA＋sin5A）＋2sin3A（sin3A＋sin7A）＋2sin5A＝2sin3Acos2A＋2sin3A2sin5Acos2A＋2sin5A＝2sin3A（cos2A＋1）2sin5A（cos2A＋1）＝sin3Asin5A＝csc5Asin3A.