线性代数电子教案《第3章》

2002/3天津商学院1第3.4节向量组的线性相关性•线性组合和线性表示等价•向量组线性相关和线性无关2002/3天津商学院2s001211(2)向量组中任意向量可以由该向量组“线性表示”.(1)s000021零向量是任意向量组的“线性组合”.例3.4.1首先举例说明线性表示、线性组合等概念1.线性表示线性组合等价(3)若则nnaaa2211任意向量可由基本单位向量组“线性表示”.,),,,(21Tnaaa2002/3天津商学院3定义3.4.1设s个向量,,...,,21s,,...,,21skkk任意s个常数sskkk...2211表达式称为这向量组的线性组合.s,...,,21若对已知向量,有常数,,...,,21skkk使得sskkk...2211则称向量可以由线性表示,或线性表出.s,...,,21根据定义1,有非零解的齐次线性方程组的通解的意义为:方程组的任一解都可由方程组的基础解系线性表示;或者说基础解系的线性组合刻划了齐次线性方程组的全部解.2002/3天津商学院4定义3.4.2若向量组(Ⅰ)中每个向量均可由向量组(Ⅱ)线性表示,则称向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示.s,...,,21t,...,,21若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可以相互线性表示,则称这两个向量组等价.显然,这种等价关系具有反身性、对称性、传递性.方程组有解R(A)=R(A).,,,21线性表示可由向量s判断向量能否由向量组n,,,21线性表示的问题,可以转化为求解线性方程组的问题.2002/3天津商学院5例3.4.2设A为sm矩阵,B为ns矩阵,C为nm矩阵,满足ABC试证(1)矩阵C的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表示;(2)矩阵C的行向量组可以由矩阵A的行向量组线性表示.定理3.4.1等价向量组所生成的空间相等.定理3.4.2如果将矩阵A经有限次初等行变换化成矩阵B,那么矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价.可以证明:B2002/3天津商学院6snssnnbabbbbbbbB212222111211TsTTnbbb2121,,,,mnmmnncccccccccC212222111211TmTTnccc2121,,,,证明设msmmssaaaaaaaaaA212222111211TmTTsaaa2121,,,,2002/3天津商学院7(2)TmTTccc21msmmssaaaaaaaaa212222111211TsTTbbb21,矩阵C的行向量组可以由矩阵A的行向量组线性表示.(1)n,,,21s,,,21snssnnbabbbbbbb212222111211,矩阵C的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表示;B2002/3天津商学院8例3.4.3试问下列向量能否由其余向量线性表示?若能,写出线性表示式:T)1,1,1(,T)1,1,0(1,T)0,1,1(2,T)2,0,1(3.解考虑,332211xxx即非齐次线性方程组.12,1,1312132xxxxxx对方程组的增广矩阵进行初等行变换,得2002/3天津商学院9110011100101221011101011120110111110A110000101001可见,3)()(TARAR,方程组有唯一解:11x,02x,13x.故向量可由向量组321,,线性表示,且3210.2002/3天津商学院10例3.4.4试问下列向量能否由其余向量线性表示?若能,写出线性表示式:T)0,2,2(,T)1,1,1(1,T)2,1,1(2.解令矩阵B(,,21)021211211,400210211230420211B可见,矩阵B的秩3,矩阵A(21,)的秩2,那么向量不能由向量组21,线性表示.2002/3天津商学院11例3.4.5设T0,2,8,2,T3,2,2,11,T6,4,4,22,T6,3,0,13试问向量能否由向量组321,,线性表示?若能,写出线性表示式.解令矩阵B(321,,,)0663234280422121,对矩阵进行初等行变换,得返回2002/3天津商学院12B00000000210021216300210042002121,可见,矩阵B的秩与矩阵A(321,,)的秩均为2,那么向量能由向量组21,线性表示,且表达式由无穷多种.继续用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵,可得B,00000000210040212002/3天津商学院13以矩阵B为增广矩阵的非齐次线性方程组的同解方程组为.2,42321xxx令02x,得41x,而23x,故有表达式321204.这是无穷多种表达式之中的一个.2002/3天津商学院14课堂练习1.试问下列向量能否由其余向量线性表示?若能,写出线性表示式:(1))2,0,1(1T,)0,8,2(2T,)1,2,1(T;(2)T)2,3,3(1,T)2,1,2(2,T)1,2,1(3,T)6,5,4(;(1)不能(2)321432;练习答案或提示返回2002/3天津商学院152.向量组线性相关和线性无关当且仅当时上式成立,则称线性无关.对向量组,若存在不全为零的实数s,...,,21,,,,21skkk,02211sskkk则称线性相关;否则称为线性无关,即s,,,21使得s,,,21021skkk定义3.4.3定理3.4.3给定向量组s,,,21,(1)当1s时,单个向量线性相关的充分必要条件是0;(2)当2s时,向量组s,,,21线性相关的充分必要条件是至少有某一个向量i可以由其余1s个向量线性表示.2002/3天津商学院16证明设是其余s-1向量的线性组合,即s112211...ssskkk(不全为零)121,...,,skkk显然,0...112211ssskkk即:线性相关.s,...,,21设线性相关,既存在不全为零的s,...,,210...2211sskkk,,...,,21skkk使得不妨设,01k则sskkkk12121...即:可由线性表示.s,...,21(2)(1)显然.2002/3天津商学院17推论向量组线性无关)2(,...,,21ss其中任一向量都不能由其它向量线性表示.判断向量组n,,,21线性相关性的问题,可以转化为求解齐次线性方程组的问题.特别地,当每个向量为n维向量时,n个n维向量的向量组线性相关行列式()=0.向量方程0...2211nnxxx有非零解.向量组线性相关n,...,,21进一步可得•齐次方程有唯一零解向量组线性无关.n,...,,21n,...,,21注矩阵()的秩小于n,...,,21.n2002/3天津商学院18(2)对基本单位向量组由于0...2211nnkkk.021nkkk即基本单位向量组线性无关.（对向量组有）s,,,,021.00000121s例3.4.6(1)含零向量的向量组线性相关.,,,,21n例3.4.7判断向量组1T)2,1,1(,2T)3,1,2(,3T)1,1,3(是否线性相关?解令矩阵A(321,,)1321113212002/3天津商学院19对矩阵A进行初等行变换,得2300410321570410321A,可见,3)(AR,故向量组321,,线性无关.另解132111321A023,故向量组321,,线性无关.2002/3天津商学院20例3.4.8判断向量组1T)4,5,2,3(,2T)3,3,1,3(,3T)11,13,5,3(是否线性相关?解令矩阵A(321,,)11341335512333,对矩阵进行初等行变换,得000000110241,A可见,32)(AR,故向量组321,,线性相关.2002/3天津商学院21继续对矩阵A进行行变换化为行最简形000000110201A,得到矩阵A对应得齐次线性方程组的同解方程组为.0,023231xxxx取3x为自由未知量,令3x1(注意,不能取3x为0),得,21x12x,进而可得到表达式32111)2(0.2002/3天津商学院22例3.4.9设线性无关,试讨论321,,133221,,的线性相关性.解:设(*),0)()()(133322211kkk整理得,0)()()(332221131kkkkkk由线性无关得321,,000322131kkkkkk000321kkk即当且仅当时(*)式成立,0321kkk所以,向量组线性无关.2002/3天津商学院23线性相关和线性无关的性质线性无关的r维向量组的每个向量对应位置上添加n-r个分量,所得n维向量组亦线性无关.性质1即:低维无关,则高维无关;反之,高维相关,则低维相关.证明),,(),,,(23222121312111aaaaaa线性无关,添加分量后为),,,(),,,,(242322212141312111aaaaaaaa(以n=2,r=3为例证明)设2002/3天津商学院24若,02211kk必有,021kk即000232131222121212111akakakakakak仅有零解0000242141232131222121212111akakakakakakakak仅有零解02211kk仅有零解,即:线性无关.21,2002/3天津商学院25设中部分组线性相关，s,...,,21)(,...,,21srr则存在不全为零的实数,,...,,21rkkk0...2211rrkkk使得显然，00...0...12211srrrkkk成立rkkk,...,,21不全为零，即s,...,,21线性相关.证明如果一个向量组中部分向量线性相关，则整个向量组线性相关.即部分相关,则整体相关.或整体无关,