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第1页，共16页期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.函数f（x）=cosx（sinx+1）的导数是（ ）A.cos2x+sinxB.cos2x-sinxC.cos2x+cosxD.cos2x-cosx2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）A.（，+∞）B.（-∞，]C.[，+∞）D.（-∞，）3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+（n∈N*），则从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是（ ）A.B.-C.-D.-4.自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定5.抛物线y2=4x的焦点为F，弦AB过F，原点为O，抛物线准线与x轴交于点C，∠OFA=135°，则tan∠ACB等于（ ）A.B.C.D.6.已知点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（ ）A.0条B.1条C.2条D.无数条7.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为θ，则sinθ的值等于（ ）A.B.C.D.8.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A.25B.26C.36D.37第2页，共16页9.已知P-ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近点B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，则（ ）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞β＞γD.α＞γ＞β10.已知不等式ex-4x+2≥ax+b（a，b∈R，且a≠-4）对任意实数x恒成立，则的最大值为（ ）A.2-2ln2B.-1-ln2C.-2ln2D.-ln2二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.设i为虚数单位，则复数的虚部为______，模为______．12.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．13.正四面体ABCD的棱长为2，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______．14.已知双曲线C：=1（t＞0）的其中一条渐近线经过点（1，1），则该双曲线的右顶点的坐标为______，渐近线方程为______．15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M、N运动时，下列结论中正确的是______（填上所有正确命题的序号）．①平面DMN⊥平面BCC1B1；②三棱锥A1-DMN的体积为定值；③△DMN可能为直角三角形；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为．第3页，共16页16.一条街道上有10盏路灯，将路灯依次排列并编号1～10．有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯．则符合要求的开法总数是______．17.已知函数f（x）=的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？19.已知函数f（x）=（-1）lnx．（1）求f（x）的图象在点x=1处的切线方程；（2）求f（x）在区间[]上的取值范围．20.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；（Ⅱ）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．第4页，共16页21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，抛物线E：y2=4x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆C于点A，B，l2交椭圆C于点G，H，若|AF|是|AH|-|FH|与|AH|+|FH|的等比中项，求|AF|•|FB|+|GF|•|FH|的最小值．22.函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s=m-n，求s的取值范围．第5页，共16页答案和解析1.【答案】B【解析】解：f′（x）=-sinx（sinx+1）+cosx•cosx=cos2x-sin2x-sinx=cos2x-sinx．故选：B．进行基本初等函数和积的导数的求导即可．考查基本初等函数和积的导数的求导公式．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属于基础题.当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4-12m≤0，∴m≥,则实数m的取值范围是[，+∞）.故选C.3.【答案】D【解析】解：当n=k时，等式的左边为1-+-+…+-，当n=k+1时，等式的左边为1-+-+…+-+，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是．故选：D．根据式子的结构特征，求出当n=k时，等式的左边，再求出n=k+1时，等式的左边，比较可得所求．本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．4.【答案】B【解析】解：设二面角的棱为l，自二面角内一点分别向两个面引垂线，两条交线确定的平面与已知平面的交线分别为BD，CD，则l⊥平面ABDC，∠BDC为二面角的平面角，由四边形的内角和为360°，可知∠BDC与∠BAC互补∴自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角互补故选：B．设二面角的棱为l，自二面角内一点分别向两个面引垂第6页，共16页线，两条交线确定的平面与已知平面的交线分别为BD，CD，则l⊥平面ABDC，∠BDC为二面角的平面角，由四边形的内角和为360°，可得结论．本题考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵抛物线方程为y2=2px=4x∴p=2∵焦点F坐标为（，0），准线l方程为x=-．∴F点坐标为（1，0），准线l方程x=-1∴C点坐标为（-1，0）∵∠OFA=135°∴直线AB的斜率为1，∵直线AB经过点F（1，0）∴直线AB方程为y=x-1，又∵点A与点B在抛物线上，∴两方程联立，得到x2-6x+1=0解得A（3+2，2+2）B（3-2，2-2）∴=（4-2，2-2），=（4+2，2+2）∴cos∠ACB==，sin∠ACB=，tan∠ACB=2．故选：D．AB方程y=x-1，与抛物线方程y2=4x联立，解得A，B的坐标，即可求出tan∠ACB．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查同角三角函数基本关系式，正确求出A，B的坐标是关键．6.【答案】B【解析】解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，则D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，-1），设=λ，则M（2-λ，2λ，2-2λ），设=t，则N（2t，2t，2-t），∴=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t），∵直线MN与平面ABCD垂直，∴，解得λ=t=，∵方程组只有唯一的一组解，∴与平面ABCD垂直的直线MN有1条．故选：B．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面ABCD垂直的直线MN只有1条．第7页，共16页本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角是解答本题的关键．根据已知中矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为θ，我们可以得到∠CAD是二面角C-AB-D的平面角，解三角形CAD即可得到答案．【解答】解：由AO⊥平面BCD，CD在平面BCD内，知AO⊥CD又CD⊥BC，且AO交BC于O，故CD⊥平面ABC又AB在平面ABC内，故CD⊥AB，又DA⊥AB，且CD交DA于D，故AB⊥平面ACD，又AC在平面ACD内，故AB⊥AC，又AB⊥AD故∠CAD是二面角C-AB-D的平面角在△CAD中，由CD⊥平面ABC，AC在平面ABC内，可知CD⊥AC又CD=3，AD=4，故sin∠CAD==故选：A．8.【答案】C【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，另外两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x+y≥12．当y取值11时，x=1，2，3，…，11，可有11个三角形；当y取值10时，x=2，3，…，10，可有9个三角形；当y取值分别为9，8，7，6时，x取值个数分别是7，5，3，1，∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36．故选C．本题是一个分类计数问题，最长的边长度是11，另外两边长用x，y表示，要构成三角形必须x+y≥12，列举出当y分别从11，10，9，8，7，6时，对应的三角形的个数，根据分类计数原理得到结果．本题考查分类计数原理，考查组成三角形的条件，考查分类讨论思想的应用，是一个比较简单的综合题目，这种题目出现的几率比较大．9.【答案】D【解析】【分析】取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出α＞γ＞β．本题考查异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，第8页，共16页考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，设正四面体棱长为2，则OG===，PO==，BO==，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，则P（，0，0），A（-，1，0），B（0，0，），C（-，-1，0），E（，，0），F（-，-，），=（-，-，），=（-，1，0），=（-，0，），=（-，-1，0），∵EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，∴cosα===0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===，∴α＞γ＞β．故选：D．10.【答案】D【解析】【分析】不等式化为ex-（a+4）x+2-b≥0恒成立，构造函数f（x）=ex-（a+4）x+2-b，利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，求f（x）的最值，转化为的不等式，从而求出它的最大值．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，是综合题．【解答】解：不等式ex-4x+2≥ax+b化为ex-（a+4）x+2-b≥0，令f（x）=ex-（a+4）x+2-b，则f′（x）=ex-（a+4），若a＜-4，则f′（x）＞0，函数f（x）函数单调增，当x→-∞时，f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0；若a＞-4，由f′（x）=ex-（a+4）=0，得极小值点x=ln（a+4），由f（ln（a+4））=（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2-b≥0，得b≤（a+4）-（a+4）ln（a+4）+2，则≤=1-