平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元检测题学校姓名学号成绩一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且ABa，ADb，则BE（）A．12baB．12baC．12abD．12ab2.下列命题中，假命题为（）A．若0ab，则abB．若0ab，则0a或0bC．若k∈R，k0a，则0k或0aD．若a，b都是单位向量，则ab≤1恒成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量13()amij，1()bimj，()()abab，则实数m为（）A．2B．2Ｃ．12Ｄ．不存在4.已知非零向量ab，则下列各式正确的是（）A．ababB．ababC．ababD．abab5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BCa，CAb，ABc，则abbcca的值为（）A．32B．32C．0D．36.在△OAB中，OA=（2cosα，2sinα），OB=（5cosβ，5sinβ），若5OAOB，则S△OAB（）A．3B．32C．53D．5327.在四边形ABCD中，2ABab，4BCab，53CDab，则四边形ABCD的形状是（）A．长方形B．平行四边形C．菱形D．梯形8.把函数23cosyx的图象沿向量a平移后得到函数的图象，则向量是（）A．（33,）B．（36,）C．（312,）D．（312,）9.若点1F、2F为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的点，当△12FPF的面积为1时，的值为（）A．0B．1C．3D．610.向量a=（-1，1），且a与a2b方向相同，则ab的范围是（）A．（1，+∞）B．（-1，1）C．（-1，+∞）D．（-∞，1）11.O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足OPOA+()ABAC，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心12.已知D是△ABC中AC边上一点，且223，∠C45°，∠ADB60，则（）A．2B．0Ｃ．3Ｄ．1二、填空题（每小题4分，共16分）13.△ABC中，已知4a，6b，sinB，则∠A。2sin()yxa2214xy12PFPFABDBADDC3414.已知M(3，4)，N(12，7)，点Q在直线MN上，且13||:||:QMMN，则点Q的坐标为。15.已知|a|=8，|b|=15，|a+b|=17，则a与b的夹角为。16.给出下列四个命题：①若||||||abab，则a∥b；②()()bcacab与c不垂直；③在△ABC中，三边长BC5，AC8，AB7，则20BCCA；④设A(4，a)，B(b，8)，C(a，b)，若OABC为平行四边形（O为坐标原点），则∠AOC.其中真命题的序号是（请将你正确的序号都填上）。三、解答题（74分）17.（本小题满分12分）设向量OA=（3，1），OB=（1，2），向量OCOB，BC∥OA，又OD+OA=OC，求OD。18.（本小题满分12分）已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos，sin)，(0)。（1）若7||OAOC（O为坐标原点），求OB与OC的夹角；4（2）若ACBC，求tan的值。19.（本小题满分12分）如图，O，A，B三点不共线，2OCOA，3ODOB，设OAa，OBb。（1）试用,ab表示向量OE；（2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线。20.（本小题满分12分）在直角坐标系中，A(1，t)，C（-2t，2），OBOAOC（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）。⑴求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t)；⑵确定函数S(t)的单调区间，并求S(t)的最小值。OABCDELMN21.（本小题满分12分）如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，其中.在距离港口O为313a（a为正常数）海里北偏东角的A处有一个供给科学考察船物资的小岛，其中cos。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C处相遇。经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成的三角形OBC面积S最小时，补给最合适。（1）求S关于m的函数关系式S(m)；（2）当m为何值时，补给最合适？22.（本小题满分14分）已知在直角坐标平面上，向量a=（-3，2λ），b=（-3λ，2），定点A（3，0），其中0λ1。一自点A发出的光线以a为方向向量射到y轴的B点处，并被y轴反射，其反射光线与自点A以b为方向向量的光线相交于点P。（1）求点P的轨迹方程；（2）问A、B、P、O四点能否共圆（O为坐标原点），并说明理由。OABCZ东北21313tan平面向量答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1．B；2．B；3．A；4．D；5．B；6．D；7．D；8．A；9．A；10．C；11．C；12．B10．C．解析：注意a与a+2b同向，可设a+2b=λa（λ0），则b=a21，从而01212aba。11．C．解析：OAOP+)(ACAB，即)(ACABAP，即AP与ACAB同向。12．B．解析：解三角形可得∠ABD=90°。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13．30°14．(6,5)或(0,3)15．216．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分。17．（本小题满分12分）解：设OC=（x,y），∵OBOC，∴0OBOC，∴2y–x=0，①又∵BC∥OA，BC=（x+1，y-2），∴3(y-2)–(x+1)=0，即：3y–x-7=0，②由①、②解得，x=14，y=7，∴OC=（14，7），则OD=OC-OA=（11，6）。18．（本小题满分12分）解：⑴∵)sin,cos2(OCOA，7||OCOA，∴7sin)cos2(22，∴21cos．又),0(，∴3，即3AOC，又2AOB，∴OB与OC的夹角为6．⑵)sin,2(cosAC，)2sin,(cosBC，由BCAC，∴0BCAC，可得21sincos，①∴41)sin(cos2，∴43cossin2，∵),0(，∴),2(，又由47cossin21)sin(cos2，sincos＜0，∴sincos＝－27，②由①、②得471cos，471sin，从而374tan．19．（本小题满分12分）解：(1)∵B，E，C三点共线，∴OE=xOC+(1-x)OB=2xa+(1-x)b，①同理，∵A，E，D三点共线，可得，OE=ya+3(1-y)b，②比较①，②得，)1(31,2yxyx解得x=52，y=54,∴OE=ba5354。（2）∵2baOL，103421baOEOM，232)(21baODOCON，10126baOMONMN，102baOMOLML，∴MLMN6，∴L，M，N三点共线。20．（本小题满分12分）解：（1）∵OCOAOB，∴OABC为平行四边形，又∵0OCOA，∴OA⊥OC，∴四边形OABC为矩形。∵OCOAOB=(1-2t，2+t)，①当1-2t0，即0t21时，A在第一象限，B在第一象限，C在第二象限，（如图1）此时BC的方程为：y-2=t(x+2t)，令x=0，得BC交y轴于K(0,2t2+2),∴S(t)=SOABC-S△OKC=2(1-t+t2-t3).②当1-2t≤0，即t≥21时，A在第一象限，B在y轴上或在第二象限，C在第二象限，（如图2）此时AB的方程为：y-t=t1(x-1)，令x=0，得AB交轴于M(0,t+t1),xyOABC图1KxyOABC图2M∴S(t)=S△OAM=)1(21tt.∴S(t)=).21(),1(21),210(),1(232ttttttt（2）当0t21时，S(t)=2(1-t+t2-t3)，S′(t)=2(-1+2t-3t2)0，∴S(t)在（0，21）上是减函数。当t≥21时，S(t)=)1(21tt，S′(t)=)11(212t，∴S(t)在[21，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数。∴当t=1时，S(t)有最小值为1。21．（本小题满分12分）解：（1）以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。直线OZ的方程为y=3x，①设A(x0，y0)，则x0=3a13sinβ=9a，y0=3a13cosβ=6a，∴A(9a，6a)。又B(m，0)，则直线AB的方程为y=maa96(x-m)②由①、②解得，C(amamamam76,72)，∴S(m)=S△OBC=21|OB||yc|=amam732，(am7)。（2）S(m)=3a[(m-7a)+aama147492]≥84a2。当且仅当m-7a=ama7492，即m=14a7a时，等号成立，故当m=14a为海里时，补给最合适。22．（本小题满分14分）解：（1）设P(x，y)，A关于原点的对称点为C，则C(-3，0)。依题意，B(0，2λ)，∴)2,3(CB，),3(yxCP，由反射光线的性质，C，B，P三点共线，∴3y-2λ(x+3)=0，①∵),3(yxAP，且AP∥b，∴3λy+2(x-3)=0，②由①，②消去λ得P点轨迹方程为：14922yx，（x，y0）。(2)若A、B、P、O四点共圆，则∠P=∠AOB=90°，OABCZ东北∴0CPAP，∴x2–9+y2=0，又14922yx，可得y=0，矛盾。∴A、B、P、O四点不能共圆。