初中数学辅助线添加技巧：角平分线

初中数学辅助线添加技巧：角平分线方法总结与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型．已知P是MON平分线上一点，（1）若PAOM于点A，可以过P点作PBON于点B，则PBPA．可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”．（2）若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA，可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对折以后关系现”．（3）若APOP于点P，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．（4）若过P点作PQON交OM于点Q，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”．(4)(3)(2)(1)QABABBAPONMPONMNPMOPNMO典例精析例1．如图，在△ABC中，90C，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm．ABCD（2）如图，已知12,34，求证：AP平分BAC．PCAB4321解：（1）2（提示：作DHAB交AB于点H．）（2）证明：过点P分别作PMAB于M，PNBC于点N，PQAC于点Q．QNMPCAB4321∵12，∴PMPN∵34，∴PQPN∴PQPM∴AP平分BAC．例2．如图1，Rt△ABC中，90ACB，CDAB，垂足为D．AF平分CAB，交CD于点F．（1）求证：CECF．（2）将图（1）中△ACD沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使点E'落在BC边上，其它条件不变，如图2所示．试猜想，BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．图2图1E'D'A'CBADEFFEDABC解：（1）证明：∵CDAB，∴90ADC∵90ACB∴90,90CAFCFADAEAED．∵AF平分CAB，∴CAFDAE．∴CFAAEDCEF．∴CECF．（2）解：BE'=CF．证明：过点E作EGAC于点G．GE'D'A'CBADEF又∵AF平分CAB，EDAB，∴EDEG．由平移的性质可知：D'E'DE，∴D'E'GE．∵90ACB，∴90ACEDCB．∵CDAB于D，∴90BDCB．∴ACEB．在Rt△CEG与Rt△BE'D'中，∵,,GCEBCGEBD'E'EGE'D'，∴△CEG≌△BE'D'．∴CEBE'．由（1）可知CECF，∴CFBE'．点拨：以上两例使用了辅助线方法（1），“可向两边作垂线”，其中例2还可以过点F作AB的垂线．例3．读下面的材料：如图1所示，OP平分MON，A为OM上一点，C为OP上一点．连接AC，在射线ON上截取OB=OA，连接BC，如图2所示，易证△AOC≌△BOC．MNPOC图2图1ABACOPNM根据以上材料，解答下列问题：（1）如图3所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）如图4所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小并说明理由．图4C图3CBADABPPD解：（1）PBPCABAC．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接PE．CBDEAP∵AD是△BAC的外角平分线，∴CAPEAP．在△ACP和△AEP中，,,ACAECAPEAPAPAP，∴△ACP≌△AEP，∴PCPE．在△BPE中PBPEBE，∵BEBAAEABAC，∴PBPCABAC．（2）PCPBACAB．证明：在AC上取一点E，使AEAB，连接PE．CAEBPDAD平分BAC，∴EAPBAP．∵,AEABAPAP，∴△APE≌△APB，∴PEPB．在△EPC中，PCPEEC，即PCPBACAE，∴PCPBACAB．点拨：本例使用了辅助线方法（2），“对称以后关系现”．例4．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE．CBDEA解：证法一：延长BA交CE延长线于点F，AEDBCF∵BECF，∴BECBEF．∵,FBECBEBEBE，∴△BCF≌△BFE．∴12CEEFCF．∵90,90FCAFDBAF．∴FCADBA．又∵,90ACABFACDAB，∴△FCA≌△DBA．∴CFBD．∵2CFCE，∴2BDCE．证法二：过点D作DHBC交AB于H．过点H作HFBD，垂足为点F．AEDBCHF∴45,AHDABCHDBDBCHBD，∴HBHD．∴HF是BD的垂直平分线．∴12BFBD．又∵,AHADABAC，∴HBDC．∵BHFBDACDE，∴Rt△BFH≌Rt△CED．∴1,2BFCECEBD，即2BDCE．证法三：作ACB的平分线CF，交AB于点F．过点D作DHCF于点H，连接FD．AEDBCHF∵ABCACB，BD平分ABC，CF平分ACB，∴△BFC≌△CDB，∴,,BDCFBFCDAFAD．∴45AFDABC．∴FDBC．∴FDBC．∴122.52DFCBCFACB．∴DFCDCF，∴DFDC．∴DH是CF的垂直平分线，∴1122HCHFCFBD．∵90,90,ECDCDEABDADBCDEADB．∴22.5ECDABD．∴ECDHCD．又∵90DECHCD，DC为公共边，∴△DCE≌△DCH．∴12CECHBD，即2BDCE．证法四：作BD的垂直平分线GH，交BC于H，连接DH，则,BHDHHDGHBG．GHCBDEA∵ABGHBG，∴HDGABG，从而HDAB．∴45DHCABC，∴DHCDCH．∴HDCD，即BHCD．又∵90,90ECDCDEABDADB，ADBCDE，∴ECDABD，即ECDGBH．∴Rt△CED≌Rt△BGH．∴12CEBGBD，即2BDCE．证法五：作BC的中线AM，则AMBC，AM平分BAC，取CD的中点F，连接MF、ME，则12MFBD．GCBDEFAM∵ME是Rt△BCE斜边上的中线，∴MEBM，∴122.52MEBEBMABC，∴45CMEMEBEBM，∴45CMEMAF．又∵90ECBCBE，90ADBABD，CBEABD，∴ECBADB．∵MFBD，∴MFAADB，即MFAECB．∴△AMF≌△MEC，∴MFCE，即12CEBD，所以2BDCE．点拨：本题是一个一题多解题，其中方法一体现了角平分线+垂线构造等腰三角形．由于作辅助线的方法不同，此题还有其它解法，可以自行研究．例5．（1）如图1，BD和CE分别是ABC△的外角平分线，过点A作CDAD，CEBE，垂足分别为D、E．求证：（1）DEAB∥；（2）12DEABBCCA；（2）如图2，BD、CE分别是ABC△的内角平分线，其它条件不变；（3）如图3，BD为ABC△的内角平分线，CE为ABC△的外角平分线，其它条件不变．则在图2、图3两种情况下，DE与BC还平行吗？它与ABC△的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明．图3图2图1ABDCEFABDCEFGECDBA解：（1）证明：分别延长AD，AE交直线BC于点F、G．GFECDBA∵ADBD，∴90ADBFDB．∵,ADBFDBBDBD，∴ABDFBD△≌△．∴,ABFBADFD．同理：,ACCGAEEG．∴DE是AFG△中位线．∴DEBC．∴12DEFG，∴111222DEFGBFBCCGABACBC．（2）DE与BC平行；1122DEFGABACBC．证明：延长AE交BC于点M，延长AD交BC于点N，由（1）同理可得，E是AM中点，D是AN中点，,ABBNACCM．NMABCEFG∴DEBC，111222DEMNBNCMBCABACBC（3）DE与BC平行；12DEBCACAB，辅助线作法如下，证法同（2）．NMABDCEF点拨：本例常见辅助线方法（3），角平分线+垂线构造等腰三角形．举一反三：1．在ABC△中，3ABAC，BAC的平分线交BC于点D，过点B作BEAD于点E，求证：ADDE．ABDCE例6．如图1，,ABACBD、CD分别平分,ABCACB．问：（1）图1中有几个等腰三角形？（2）过D点EFBC，如图2，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图3，若将题中ABC△改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？写出EF与BE、CF有什么关系？（4）如图4，BD平分ABC，CD平分外角ACG．DEBC交AB于点E，交AC于点F．线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由．（5）如图5．BD、CE为外角CBM、BCN的平分线，DEBC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？图5图4图3图2图1ABCDEFABCDEFGABCDEFABCDNMFEDCBA解：（1）图1中有两个等腰三角形：ABC△、BCD△．（2）图2中又增加三个等腰三角形：AEF△、BED△、CFD△．（3）图3中有两个等腰三角形：BED△、CFD△．由于,,EDBEDFCFEFEDFDBECF，所以EFBECF．（4）图4中有两个等腰三角形：BED△、CFD△．证明：∵BD平分ABC，∴ABDDBC．∵DEBC，∴EDBDBC，∴ABDEDB，∴DEDF．∵EFDEDF，∴EFBECF．（5）EFBECF，证法与同（3）．点拨：本题利用的是角平分线+垂线，等腰三角形必呈现．例7．如图，已知ABC△中，ACAB，90C，AD平分CAB，求证：ABACCD．ABCD解：证法一：过点D作DEAB于点E．DCBAE∵,,CDACCADEADADAD，∴RtRtACDAED△≌△，∴CDDE=，ACAE．又∵,45DEABB，∴BED△为等腰直角三角形．∴DEBE，BECD．∴ABAEBEACCD．证法二：延长AC到点E，使CECD，连接ED．DCBAE∵90ECD，∴45E．又∵,45,EADBADEBADAD，∴RtRtAEDADB△≌△．∴AEAB，∴ABACCEACCD．点拨：线段之间的关系通常有以下几种提问方式：（1）若问两条线段之间的关系时，一般要回答数量关系和位置关系；（2）若问线段之间的数量关系时，一般情况下要写等量关系，或是和差倍分关系；（3）若问线段之间的大小关系时，必须填大（等）于或小（等）于；当所求线段关系为和差倍分关系时，一般情况我们作辅助线的方法是截长补短．举一反三1．如图，ABC△中，ABAC，108A，BD平分ABC交AC于D点．求证：BCACCD．DCBA2．如图，ABC△中，ABAC，100A，BD平分ABC，求证：BCBDAD．DCBA例8．如图(1)所示，OP是∠MON的平行线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图(2)，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BA