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初中数学几何专题之辅助线主讲老师：某某某角平分线模型的构造角平分线模型的构造考情分析三角形内外角平分线的概念是处理与角相关问题的基本依据和方法，在中考题中经常利用角平分线的性质去证明线段、角相等或三角形全等。随着课改的深入，中考的题型也发生了变化，利用角平分线的对称性把图形翻折，再进行推理计算；以及与角平分线有关的探究题、综合题为近几年中考的热点题型。角平分线模型的构造技巧提炼角平分线的四大基本模型：已知P是∠MON平分线上一点（1）若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA，可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”角平分线模型的构造技巧提炼角平分线的四大基本模型：已知P是∠MON平分线上一点（2）若点A是射线OM上任意一点，如图所示，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA，可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”角平分线模型的构造技巧提炼角平分线的四大基本模型：已知P是∠MON平分线上一点（3）若AP⊥OP于点P，如图所示，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”角平分线模型的构造技巧提炼角平分线的四大基本模型：已知P是∠MON平分线上一点（4）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”角平分线模型的构造（1）如图a所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是（）cm（2）如图b所示，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC【思路点拨】（1）过点D做AB的垂线（2）过点P分别作直线AB，BC，AC的垂线AB，BC，AC的垂线，利用角平分线的性质得证角平分线模型的构造如图a所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF.（2）将图a中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其他条件不变，如图b所示，试猜想：BE’与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。【思路点拨】第（1）问主要考察“双垂线+角平分线可得等腰三角形”，第（2）问遇到角平分线通常考虑过角平分线上的点向角的两边作垂线，所以过点E作AC的垂线，构造全等三角形解题，也可以过点F作AB的垂线。角平分线模型的构造阅读下列学习材料：如图a所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB=OA，连接BC（如图b所示），易证△AOC≌△BOC角平分线模型的构造请根据上面的学习材料，解答下列问题：（1）如图c所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.（2）如图d所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由角平分线模型的构造如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE【思路点拨】本题的主要条件是“角平分线+垂线”，所以考虑利用模型（3）构造等腰三角形，即延长CE，BA相交于点F，构造全等三角形角平分线模型的构造（1）如图a所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE∥BC，DE=（AB+BC+AC）21角平分线模型的构造（2）如图b所示，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变（3）如图c所示，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变则在图b和图c两种情况下，DE与BC还平行么？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。角平分线模型的构造如图所示，AB=AC，BD,CD分别平分∠ABC，∠ACB,问：（1）图a中有几个等腰三角形？（2）过点D作EF∥BC，如图所示，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图c所示，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？角平分线模型的构造如图所示，AB=AC，BD,CD分别平分∠ABC，∠ACB,问：（4）如图d所示，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG，DE∥BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由。（5）如图e所示，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？角平分线模型的构造如图所示：已知在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB，求证：AB=AC+CD【思路点拨】AD是角平分线，DC⊥AC，所以可以考虑过点D作AB的垂线，或者在射线AC上截取AE=AB，连接DE，构造全等三角形。角平分线模型的构造如图a所示：OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图b所示，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断写出FE与FD之间的数量关系；角平分线模型的构造如图a所示：OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：（2）如图c所示，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成立请说明理由。角平分线模型的构造总结角平分线的四大基本模型：已知P是∠MON平分线上一点（1）若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA，可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”（2）若点A是射线OM上任意一点，如图所示，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA，可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”角平分线模型的构造总结角平分线的四大基本模型：已知P是∠MON平分线上一点（3）若AP⊥OP于点P，如图所示，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”（4）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”THANKS主讲老师：某某某