实数的完备性

第四章实数的连续性§4.1实数的连续性定理§4.2闭区间连续函数整体性质的证明极限的理论问题首先是极限的存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且与数列所在的数集有关.我们知道有理数列的极限不一定是有理数,但在实数集内，实数列的极限一定是实数.实数的这个性质称为实数集的连续性或实数的完备性.因此实数集的连续性是数学分析的理论基础.下面我们给出几个等价的描述实数集连续性的定理.这些定理是数学分析理论的基石.§4.1实数的连续性定理•定理1.(闭区间套定理)设有闭区间列若:则存在唯一数属于所有的闭区间(即),且:{[,]}.nnablimlim.nnnnabl11221);2)lim0,nnnnnabababba，，，l1nnnabl，一、闭区间套定理1a2a3analnb3b2b1bx•从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一一个公共点.注:一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.1112211.nnnnabbaaaabbb由条件），数列单调增加有上界，数列单调减少有下界，即证：lim.nnnaal依据单调有界数列必有极限，数列收敛，设2limlimlimlim.limlim.nnnnnnnnnnnnnnnbbaabablabl由条件）N,.kkkklklabalb下面我们来证实数属于所有闭区间，即证，有，或.limlimN.knnkknnknnkknkaabbaalbbklab因为，有从而即，，Nlim0.nnnnnnnllnllabllballballl最后证的唯一性，假设还有一个也属于所有闭区间，从而，有，，，即，所以，故，即是唯一的.nnab为了叙述方便，我们把满足闭区间套定理条件的闭区间序列，，称区间套为ll若是区间套点的特所确定推论(性)的点，则区间套定理中要求各个注:区间都是0N.nnNnNabUl，，，有，，11.n开区间例序列，如.闭区间，否则结论不一定成立P.一般来讲，证明问题需要找出一个具有某种性质的数，常用区间套定理将这个区间套定理的应用：数“套”出来1.PPP;）构造一个具有性质的区间，性质要根据性质具方法是：来定体2.P1P2P.P）在具有性质的区间中确定一个长度不超过该区间长度的也具有性质的子区间（通常采用二等分法），然后继续使用上述步骤，可得具有性质的区间套实现将具有性质的这个数“套”出来.非空数集有上界,则它有无限多个上界,在这无限多个上界之中,有一个上界与数集有一种特殊关系.定义:设是非空数集.若使(1)(2)则称是数集的上确界.表为二、确界定理EEER,;xEx0,,:.xEx有supEE定义:设是非空数集.若使(1)(2)则称是数集的下确界.表为EEinfER,;xEx0,,:.xEx有(2),()nnxExn定理(可列化)设是非空集合，则EsupE(1),;xEx定理(可列化)设是非空集合，则EinfE(1),;xEx(2),()nnxExn0001N112011,11111.1supN1.1nnnnnnnnnnnn），有；），由可知，所以，有即证1supN1,infN.112nnnnnn例1证明00011N1211201.1221infN.12nnnnnnnnn同样），有；），，有即sup1,2,3,44,inf1,2,3,124例证明1,2,3,4,4;(2)0,41,2,3,4,44.sup1,2,3,44kk(1)证明有：1,2,3,4,1;(2)0,11,2,3,4,11.inf1,2,3,41kk又(1)有R.2.EEE设，若有上(下)界则数集必存在唯一的上(下确定界定理)确界理111111111111R.P1.2.EbEEaEababababEabE因为，所以，又有下界，设是的下界，则，不妨设这时闭区间，具有如下性质（称为具有性质）：闭区间，左侧没有数集的点；闭区间，中证至少有数集的一个点；111111112222P.ababababab将闭区间，二等分，所得两个闭区间为，与，，其中必有一个具有性质，将其记为，2233P.P.nnnnabababab同样方法，将闭区间，二等分，必有一个闭区间具有性质，将其记为，二等用分法无限进行下去，可得区间套，，且每个，具有性质limlim.nnnnnnabab根据区间套定理，存在唯一一个数属于所有的闭区间，，且0001..limN.P1.nnmxExxExamax），有否则，若，有则由及数列极限保序性可知，，使这与性质的）矛盾00002)0N0.inf.mmmmNmNabUxExabxExE，由区间套定理的推论可知，，，有，，，即，使，，亦即，，有于是.下确界是唯一的inf,.E否则，若还存在除外的下确界且，不妨设0000infinf0...ExExExExxEx因为，所以，有；另外，则对于，，有这与，有矛盾于是，下确界是唯一的作为确界定理的应用，我们用确界定理来证明单调有界数列必有极限的公理..N.nnaan假设数列单调递增有上界则由确界定理可知，数集一定存在上确界lim.nna下面我们来证00infN1N20N.nnnannana因为，所以有），有；），，使000.0N.lim.nnnnnnannaaNnnNaa又由于数列单增，所以，有于是，，，有即设是一个区间（或开或闭）、并有开区间集（的元素都是开区间、开区间的个数可有限也可无限）.定义：若则称开区间集覆盖区间.三、有限覆盖定理ISS,,xISx有SI11,1,2,...(0,1)2Snnn例如是区间的一个开覆盖.定理3(有限覆盖定理）若开区间集覆盖闭区间，则中存在有限个开区间也覆盖了闭区间.注：1.有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海涅-波莱尔定理.2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间改为开区间,定理不一定成立.例如开区间集覆盖开区间，但是，中任意有限个开区间都不能覆盖开区间S,abS,ab,ab(,)ab1(,1),1nNn(0,1)1(,1)1nNn(0,1)证明此定理的证明方法有多种这里还是运用区间套定理来证明,仍然要注意区间套的取法.若定理不成立,也就是说不能被中任何有限个开区间所覆盖.将区间等分成两个子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为,ab,ab12,abSSababbaba11111[,][,],().2并且显然有再将[a1,b1]等分成两个子区间,其中至少有一个不能被S中有限个开区间所覆盖.设该区间为[a2,b2]同样有221122111[,][,],().2ababbaba并且将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间[,]nnab,满足下列三个性质:11(i)[,][,],1,2,;nnnnababn1(ii)()0,2nnnbaba;n(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被S中有限个11[,],[,],(,),abSabS因覆盖了故存在0,.min{,},1使（）取由定理这就是说,[aN,bN]被S中的一个开区间所覆盖,[,],1,2,.nnabn,由区间套定理,存在惟一的使开区间所覆盖.0,,[,](;)(,).NNNabU论存在使的推矛盾.R..0EUEEUE设是无限点集，是定点若，在，内含有的无限多个点，即，也是无限点集定，则称是的聚点义N1.1nEnEn设例如：，则是的聚点101111.nnnUE事实上，由，得，即，内含有的无穷多个点.GxxababE设是开区间，内的有理点，则，都是的聚点0.abUab事实上，由有理数的稠密性可知，，，，在，内含有开区间，的无穷多个点四、聚点定理RR.01..EEUE聚点定义的两个等价形式：设，是定点若，，，则是的题一个聚点命RR.lim2.(.nnnEaEaE设，是定点若存在各项互异的数列，其极限，则是的一个聚点，反可化命列)之亦然题11121220101min02EUaEUaaEU因为，，，则对于，，；，，，；证1min0nnnnnaaEU，，，；1lim..nnnnnEaaanE由此，在中可得各项互异的数列，满足，即从而是的聚点i..lmNnnnnaaan各项互异的收敛数列，特其极限是点集的一个聚点别..4E（）数轴上的任意一个有界无穷点集定魏尔斯特拉斯聚点原至少有一理个聚点理111111112222.ababababEab将闭区间，二等分，所得两个闭区间为，与，，其中必有一个含有中无限多个点，将其记为，1111.EabEab因为有界,所以存在闭区间，,使，证:2233..nnnnabEabababE同样方法，再将闭区间，二等分，其中必有一个闭区间含有中无限多个点，将其记为，用二等分法无限进行下去，可得区间套，，且每个，含有中无限多个点limlim.nnnnnnabab根据区间套定理，存在唯一一个数属于所有的闭区间，，且.nnabEE由于，含有的无限多个点，所以就是的聚点0N.nnNnNabU再由区间套的推论可知，若是区间套所确定的点，则，，，有，，证设{an}为有界数列,若{an}中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛若数列{an}不含有无限多个相等的项,则{an}作为点集是有界的.由聚点原理,可设是{an}的一个聚定理5(致密性定理)有界数列必有收敛子列.敛于.点,那么再由命题2,可知{an}中有一个子列收五、致密性定理定理4有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.naknakna0{}{}.lim.kknnnkxxxx存在一个收敛子列设,bxakn又因由极限的不等式性质,可得.0bxa作为致密性定理的应用,我们来看下面这个例题.例3设在上连续，如果那么存在