高一数学(人教A版)复数的加、减运算及其几何意义-1教案

教案教学基本信息课题7．2.1复数的加、减运算及其几何意义学科数学学段：高中年级高一教材书名：普通高中教科书《数学》必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标及教学重点、难点教学目标：1、知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。2、过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。3、情感、态度与价值观目标：通过探究学习,培养学生观察、理解、推理论证的能力。在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。教学难点：复数加减法的几何意义及其应用教学方法：探究法教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习回顾教师：复数产生的背景:为了解决方程210x在实数范围无解的问题,引入了虚数单位2i(i1);引入虚数单位后，方程无解的问题得意解决，而数集也随之扩大，实数集扩大到复数集。复习1．什么是复数？对于形如i,zababR的数叫做复数。其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部，2.两个复数相等的条件是什么？ii,,,abcdabcdR当且仅当,acbd3．复数几何意义4．复数,zabiabR的模：22OZzabiabOZ，从几何上来看复数通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.,zabiabR的模表示点(,)ab到原点的距离。新课探究师：我们知道实数有加、减、乘、除等运算，且有运算律：加法：abba()()abcabc乘法：abba()()abcabc()abcabac那么，复数是否也具有这些运算及其运算律呢？探究一:复数的加法复数的加法法则我们规定,复数的加法法则如下:设1izab，2izcd(,,,abcdR)是任意两个复数,那么：12(i)(i)()()izzabcdacbd提出问题：(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?(2)当=0,0bd时,与实数加法法则一致吗?加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?学生明确:(1)两个复数的和仍然是个复数,且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加;(2)当=0,0bd时,复数的加法与实数加法法则一致;(3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．师：实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?对任意的123,,zzzC,有1221zzzz（交换律）,123123()()zzzzzz（结合律）.证明：设1izab，2izcd(,,,abcdR)12(i)(i)()()izzabcdacbd21(i)(i)()()izzcdabcadb;()实数的交换律accabddb∴1221zzzz.同理可证123123()()zzzzzz的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣．提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．因此复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的123,,zzzC,有1221zzzz（交换律）,123123()()zzzzzz（结合律）.师：我们规定了复数的加法法则，复数的减法法则又该如何呢？类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?复数的减法法则。探究二:复数的减法类比实数减法的意义，我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)icdxyab的复数i(,)xyxyR叫做复数i(,)ababR减去复数i(,)cdcdR的差,记作(i)(i)abcd.根据复数相等的定义,有,cxadyb,因此,xacybd,所以i()()ixyacbd,即(i)(i)()()iabcdacbd.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．两个复数的差是一个确定的复数.这就是复数的减法法则,因此复数的减法法则为：设1izab，2izcd则12()()izzacbd提醒：我们在推导两个复数减法的运算法则时，应用了待定系数法，即12izzzxy，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.归纳总结：（1）两个复数的和与差仍然是个复数,且是一个确定的复数。（2）两个复数的和与差实质是实部与实部相加减作为实部,虚部与虚部相加减作为虚部,类似于实数运算中的合并同类项；（3）复数的加、减法与实数加、减法法则一致，且加法满足实数的运算率。我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系。而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设1OZ及2OZ分别与复数1izab复数2izcd对应，加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,加深复则1(,)OZab，2(,)OZcd由平面向量的坐标运算法则，得12OZOZOZ(,)(,)abcd(,)acbd而12(i)(i)()()izzabcdacbd这说明两个向量1OZ与2OZ的和就是与复数()()iacbd对应的向量。由图可以看出，以1OZ与2OZ为邻边的平行四边形12OZZZ，其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数()()iacbd。因此复数的加法与向量的加法相对应,复数加法可以按照向量的加法来进行(如图）,这就是复数加法的几何意义.师：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？数几何意义的理解，也培养了学生的数形结合思想.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法.探究四:复数减法运算的几何意义：设1OZ及2OZ分别与1izab复数2izcd对应，则1(,)OZab，2(,)OZcd，21ZZ=1OZ-2OZ=(,)(,)abcd(,)acbd这说明两个向量1OZ于2OZ的差向量21ZZ就是与复数()()iacbd对应的向量。因此复数的减法与向量的减法相对应,复数减法可以按照向量的减法来进行(如图）,这就是复数减法的几何意义.说明:12ZZ的几何意义就是复数12,zz对应复平面上两点间的距离。在复平面上，这个结论你能证明吗？例题例1.（1）已知复数1212i43i=zz与，试求它们的和在巩固复数加、减运算。yOx1212.zzzz与差（2）计算：(56i)(2i)(34i);（详解见PPT）变式训练（1）若(13i)+z=6+2i,求复数z；（2）已知复数123i2+i(,)zxzyxyR，1254i,且求实数x,y的值。zz；（3）已知复数z满足+13izz,求复数z.（详解见PPT）例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点111222(,),Z(,)Zxyxy之间的距离。（详解见PPT）变式（1）意在巩固减法是加法的逆运算；（2）（3）在渗透待定系数法，把复数问题实数化。三个变式既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力例2利用复数及其几何意义研究复平面内两点的距离问题，将复平面内两点12,ZZ之间的距离转化为1212ZZzz，使得几何问题代数化。例3巩固复数的几何意义,加深对几何意义的理解。例3已知复平面内一平行四边形AOBC的点A、O、B对应复数是-3+2i，0,2+i，求：①点C对应的复数；②向量AB对应的复数；③A，B两点间的距离。（详解见PPT）总结（1）复数代数形式的加法、减法的运算法则。复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;（2）复数加法减法的几何意义.复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进行。通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.作业1.计算(1)(2+4i)(34i)(2)(34i)(2+i)(15i)(3)5(32i)(4)(2i)(23i)4i2．向量OZ对应的复数是z,分别作出下列运算的结果对应的向量；(1)1(2)zi(3)(2+i)zz3．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1+3i，-i,2+i，求点D对应的复数.