棱柱的概念性质

高三数学课后针对性巩固资料课题棱柱及其性质学习目标了解多面体、凸多面体的概念；掌握棱柱、直棱柱、正棱柱的概念及其性质，了解棱柱的表示及其分类；能初步利用棱柱的概念及其性质解决一些简单的问题．学习重点、难点棱柱的概念及其性质学习过程一、知识点分析：1．多面体（1）多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．（2）凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．（3）凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等．说明：我们学习的多面体都是凸多面体．2．棱柱引人：从一些常见的物体（凸多面体），例如三棱镜，方砖等，它们呈棱柱的形状（如图）．（1）棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）．（2）棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱。设集合{}A棱柱，{}B斜棱柱，{}C直棱柱，{}D正棱柱，则,BCADC．棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……3．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（图（1））；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形（图（2））．练习：判断下列命题是否正确：（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（2）有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；（3）有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱；（4）有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（5）底面是正方形的棱柱是正棱柱；（6）棱柱最多有两个面是矩形；（7）底面是菱形且一个顶点处的三条棱两两互相垂直的棱柱是正棱柱；（8）每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱。答：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错（6）错（7）对（8）错4．直棱柱、正棱锥的直观图：高三数学课后针对性巩固资料4．正多面体：（1）概念：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体叫正多面体。例如正方体是正六面体．（2）种数：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体5种（了解即可）．（3）直观图如图：（4）5种正多面体的展开图如图：（了解）5、平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．6、平行六面体、长方体的性质结论1：平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,ACBDCADB相交于一点，且在点O处互相平分．结论2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和．已知：长方体AC中，AC是一条对角线，则2222ACABADAA．二、典型例题解析：例1．已知正三棱柱ABCABC的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC,上的点，且14CNCC，求证：ABMN．例1．斜二测画法画一个底面边长为4cm，高为6cm的正六棱柱的直观图．分析：要画正六棱柱的直观图，根据斜二测画法的画法规则，只需建立恰当的坐标系，画出下底面的直观图，再根据正六棱柱的对称性确定上底面的六个顶点即可．例2．画一个底面边长为5cm,高为11.5cm的正五棱锥的直观图,比例尺为1:5.分析：画正五棱锥的直观图只需根据斜二侧画法,选择恰当的坐标系画出正五边形的直观图,进而确定出正五棱锥的顶点即可.高三数学课后针对性巩固资料DCBAC1B1D1A1HOA'D'C'B'DCBA变式训练：如图，直三棱柱111ABCABC，底面ABC中，1CACB，90BCA，棱12AA，,MN分别是111,ABAA的中点，（1）求BN的长；（2）求异面直线1BA与1CB所成的角；（3）求证：11ABCM．例2已知：正四棱柱ABCDABCD的底面边长为2，侧棱长为2，（1）求二面角BACB的大小；（2）求点B到平面ABC的距离。三、针对性练习：1．若正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为1，1AB与底面ABCD成60°角，则11AC到底面ABCD的距离为；2.在正四棱柱1111ABCDABCD中，顶点1B到对角线1BD和到平面11ABCD的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(0,1)B．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为223(,)23C．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为23(,2)3D．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为23(,)33．（1）斜棱柱侧棱长为15cm，与底面成30的角，则棱柱的高是．（2）正四棱柱的底面积为2144cm，高是14cm，则棱柱的对角线长是．（3）正三棱柱ABCABC中，若2ABBB，则AB与CB所成的角为．4、长方体1111ABCDABCD中，122AAABBC，求异面直线1AB与1AD所成角的余弦值；5、（拓展）平行六面体ABCDABCD中，,3AABAADBAD，,ABADaAAb，求对角面BBDD的面积．ABCNM1C1B1A高三数学课后针对性巩固资料C1D1B1A1DCBABCBCA111AD四．走向高考1、在三棱柱111ABCABC中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面11BBCC的中心，则AD与平面11BBCC所成角的大小是；2、已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA重点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为；3、已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为；4、在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于；5、平面六面体1111ABCDABCD中，既与AB共面也与1CC共面的棱的条数为(C)A．3B．4C．5D．66、如图，已知正三棱柱111ABCABC的各条棱长都相等，M是侧棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小是。7、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。（1）证明：直线EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。8、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小EABCFE1A1B1C1D1DF1OPACBA1B1C1DE