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第七节随机事件的概率三年9考高考指数:★★★1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2.了解两个事件互为互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.1.互斥事件与对立事件的概率是考查重点；2.题型以选择题、填空题为主，与统计知识交汇则以解答题为主.1.概率和频率（1）频率：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，nA为事件A出现的频数，事件A出现的频率为fn(A)=;（2）概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn(A)来估计概率P（A）.Ann___【即时应用】(1)思考：概率与频率有何区别与联系？提示：频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.（2）判断下列说法的正误.（请在括号内打“√”或“×”)①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；()②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；()③百分率是频率，但不是概率；()④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的、不依赖于试验次数的理论值；()⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.()【解析】由频率的定义和概率的统计定义及二者的关系可知①④⑤正确，②③不正确.答案：①√②×③×④√⑤√2.事件的关系与运算如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）A=B若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A+B）BA_______,_______AB若且，那么称事件与事件相等______（或）ABBAAB若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B=Ø若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥(____)或AB【即时应用】(1)两个事件互斥是这两个事件对立的_____条件.(2)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列两个事件是互斥事件但不是对立事件的是______（填序号）.①至少有1个白球，都是白球②至少有1个白球，至少有1个红球③恰有1个白球，恰有2个白球④至少有1个白球，都是红球【解析】(1)互斥不一定对立，但对立一定互斥，故互斥是对立的必要不充分条件.（2）①、②中的两个事件不互斥，当然也不对立；③中的两个事件互斥，但不对立；④中的两个事件不但互斥，而且对立.所以正确答案应为③.答案：（1）必要不充分（2）③3.概率的几个基本性质（1）概率的取值范围：____________；（2）必然事件的概率为_；（3）不可能事件的概率为_；0≤P（A）≤110（4）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）=_____________；（5）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件.P（A∪B）=_，P（A）=________.P（A）+P（B）11-P（B）【即时应用】（1）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽验一只是正品(甲级)的概率为_____.（2）若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝_____.（3）在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至少有两人排队的概率为_____.【解析】(1)记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.(2)∵A、B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.(3)P=1-（0.1+0.16）=0.74答案：(1)0.92(2)0.3(3)0.74随机事件的频率与概率【方法点睛】频率与概率的理解（1）依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化.（2）概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性.【例1】(2011·新课标全国卷）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.2,y2,4,t94,94t102,t102.【解题指南】第（1）问分别用A配方、B配方生产的产品中优质品的频率来估计概率，第（2）问，用B配方生产的一件产品的利润大于0时即质量指标t≥94时的频率作为概率，生产的100件产品的平均利润为（-2）×频率（t94）+2×频率（94≤t102）+4×频率（t≥102）.【规范解答】（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.2280.3100，32100.42100，（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率即为t≥94的概率,由试验结果知，t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为（元）.1425424242.68100［］【反思·感悟】概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，频率可近似地当作随机事件的概率，本题在解决概率问题时就是利用频率.随机事件间的关系【方法点睛】1.互斥事件的理解（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；（2）所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的；（3）两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的．2.从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.【例2】判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3）至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生.【解题指南】应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.【规范解答】(1)是互斥事件，不是对立事件.原因是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.（2）不可能是互斥事件，从而也不是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.(3)不可能是互斥事件，也不是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件，也是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以也是对立事件.【反思·感悟】判断两事件的关系时，一是要考虑试验的前提条件；二是考虑事件间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析.对于较难作出判断关系的情况，也可列出全部结果，再进行分析.互斥事件、对立事件的概率【方法点睛】求复杂的互斥事件的概率的一般方法（1）直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.（2）间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P（），即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.【提醒】应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和.A【例3】（1）(2012·济南模拟）在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，则小明在数学考试中取得80分及以上的概率为____.（2）国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示：求该射击队员射击一次①射中9环或10环的概率；②至少命中8环的概率.【解题指南】(1)小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事件“80～89分”“90分及以上”的并事件；（2）该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故彼此是互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率.【规范解答】（1）分别记小明的成绩“在90分及以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“60分以下”为事件B、C、D、E、F，这五个事件彼此互斥.所以小明的成绩在80分及以上的概率是：P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.答案：0.69（2）记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥.①记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.28+0.32=0.60.②设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78.【反思·感悟】必须明白事件A、B互斥的条件，只有互斥事件才可用概率的求和公式P(A+B)=P(A)+P(B).【满分指导】随机事件主观题的规范解答【典例】（14分）(2011·陕西高考）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【解题指南】（1）读懂所给表格，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．【规范解答】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=