Gothedistance12014年重庆一中高2015级高二下期期末考试数学试题卷(理科)2014.7【试卷综评】本学期期末考试试卷,在试卷形式、结构、分值上与高考试卷保持一致,选择题10个,共50分,填空题5个,共25分,6个解答题,共75分,本试卷共150分。考查的知识涉及到高二下期的所有知识,重视学科数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查,同时侧重考察了数学的计算能力、逻辑思维能力、学生的学习方法,且对重点知识和重要方法进行重点考查,选题较恰当,难度适中,是一份较成功的高二期末考试试卷。第I卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。[来源:学科网ZXXK]1、已知ba,是实数,设i是虚数单位,若ibiia1则复数bia是()A、i2B、2iC、i21D、i21【知识点】复数的混合运算;复数相等的条件.【答案解析】C解析:解:因为ibiia1,整理得:1,aiibi11aaibi,由复数相等的条件知:101aab,解得12ab,即bia=12i故选C.【思路点拨】先由原式化简,再利用复数相等的条件求出a,b的值即可.2、已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X2c+1)=P(Xc+5),则c=()A、34B、1C、0D、4【知识点】正态分布;正态分布的性质.【答案解析】C解析:解:由随机变量X服从正态分布N(3,1)可知其对称轴为3,又因为P(X2c+1)=P(Xc+5),所以1c、5c关于3对称,则156cc,解得:0c.故选:C.【思路点拨】先由已知条件判断出其对称轴为3,再由1c、5c关于3对称即可.3、若p是q的必要条件,s是q的充分条件,那么下列推理一定正确的是()A、spB、psC、spD、sp【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【答案解析】A解析:解:∵p是q的必要条件,s是q的充分条件,∴q⇒p,s⇒q,∴s⇒p,则根据逆否命题的等价性可知:¬p⇒¬s,故选:A.【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义,以及逆否命题的等价性,即可得到结论.Gothedistance24、在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为()A、43B、23C、433D、3【知识点】点到平面的距离.【答案解析】B解析:解:设点A到平面A1BC的距离为h,则三棱锥1AABCV的体积为11AABCAABCVV=即1111••33ABCABCSAASh=∴11312h33=∴h=23.故选:B.【思路点拨】要求点A到平面A1BC的距离,可以求三棱锥1AABCV底面A1BC上的高,由三棱锥的体积相等,容易求得高,即是点到平面的距离.5、53)2(xx的展开式中常数项为()A、-40B、-10C、10D、40【知识点】二项式系数的性质.【答案解析】D解析:解:展开式的通项公式为:55k321552TC3C2xkkkkkkkxx=,令5032kk,解得k=2,即常数项为2235241040TC=,故选:D.【思路点拨】求出二项展开式的通项公式,即可求出常数项.6、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为()A、2B、4C、4D、12【知识点】由三视图求体积.【答案解析】C解析:解:由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,高为2,底面为等腰直角三角形,如图:323Gothedistance3∵△ABC为等腰直角三角形,D为AC的中点,平面PAC⊥平面ABC,在平面SAC中,过D作DH⊥AC,∴外接球的球心在DH上,设球心为O,则OA=OB=OC=OS,设OD=x,则222x22xx1(),外接球的半径R=3,∴外接球的体积34V3433,故选:C.【思路点拨】几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图可证球心在平面SAC,AC的垂直平分线上,设出球心,利用勾股定理求出球的半径,代入球的体积公式计算.7、函数3()3fxxx在区间2(12,)aa上有最小值,则实数a的取值范围是()A、(1,11)B、(1,2)C、(1,2]D、(1,4)【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值.【答案解析】C解析:解:由3()3fxxx,得2()33fxx,令()fx>0,解得-1<x<1;令()fx<0解得x<-1或x>1由此得函数在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,故函数在x=-1处取到极小值-2,因为函数在2(12,)aa的端点处的函数值取不到,所以此极小值必是区间2(12,)aa上的最小值.∴a2-12<-1<a,解得-1<a<11,又当x=2时,f(2)=-2,故有a≤2故选:C.【思路点拨】求函数3()3fxxx导数,由于函数在区间2(12,)aa上有最小值,故最小值点的横坐标是集合2(12,)aa的元素,由此可以得到关于参数a的等式,解之求得实数a的取值范围.Gothedistance48、椭圆C:22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得12FFP为等腰三角形,则椭圆C的离心率取值范围是()A、12(,)33B、1(,1)2C、2(,1)3D、111(,)(,1)322【知识点】椭圆的标准方程;简单几何性质.【答案解析】D解析:解:(1)点P与短轴的顶点重合时,△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;(2)当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,以F2P作为等腰三角形的底边为例,∵F1F2=F1P,∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上,因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰△F1F2P,此时a-c<2c,解得a<3c,所以离心率e>13当e=12时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠12同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e>13且e≠12时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述,离心率的取值范围是:e∈111(,)(,1)322.故选:D.【思路点拨】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断,建立关于a、c的不等式,解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.9、现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,要求甲不当语文课代表,乙不当数学课代表,若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表,则不同的选法共有多少种()A、53B、67C、85D、91【知识点】排列组合;分类计数原理.【答案解析】B解析:解:由题意可进行如下分类:(1)丙当物理课代表:甲当数学Gothedistance5课代表有2种选法;甲不当数学课代表有1种选法;共计3种选法;(2)丙当语文课代表:乙不当数学课代表有3种选法,另外3人全排列,共计33318A种选法;(3)丙当数学课代表:与(2)相同共计33318A种选法;(4)丙当英语课代表:乙当语文课代表有336A种选法;乙不当语文课代表有1122228CCA种选法;共计14种选法;(5)丙当化学课代表:与(4)相同共计14种选法;综上所述:共有3+18+18+14+14=67种不同的选法.故选:B.【思路点拨】由题意对丙分类讨论,依次让丙去当各科课代表,再求和即可.10、已知实数cba,,满足,4,2222cbacba且cba,不等式aaa)2ln(2M恒成立,则M的最大值是()A、34940lnB、32916lnC、22)248ln(D、28ln【知识点】方程有解的条件;利用导数判断函数的单调性.【答案解析】D解析:解:由cba,2abc,可知2aaa,即23a,又因为22242abccab,两式联立得:22224240babaa,此方程有解,故222442240aaa,解得2a,所以223a;令2()ln2faaaa,则222()12afaaa,()0fa,解得2a,因为223a,所以2a;当223a时,()0fa,此时函数单调递增;当22a时,()0fa,此时函数单调递减;故函数min()(2)fafln82,所以若不等式aaa)2ln(2M恒成立,有min()Mfaln82,则M的最大值是ln82.故选:D.【思路点拨】先通过已知条件求出a的取值范围,令2()ln2faaaa,然后结合导数判断函数在定义域内的单调性,进而求出函数()fa的最小值,也就求出了M的最大值.第II卷(非选择题,共100分)二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在答Gothedistance6题卡相应位置上。11、设集合A={(x,y)|22=1416xy},B={(x,y)|y=x2},则A∩B的子集的个数是_______【知识点】椭圆的标准方程;交集及其运算.[来源:学科网ZXXK]【答案解析】4解析:解:∵集合A={(x,y)|22=1416xy},B={(x,y)|y=x2},∴(0,1)在椭圆内,两曲线有两个交点,∴A∩B有两个元素∴A∩B的子集的个数是22=4故答案为:4【思路点拨】确定A∩B有两个元素,从而可求A∩B的子集的个数.12、在R上定义运算bcaddbca,若21023xxx成立,则x的集合是_________【知识点】新定义;一元二次不等式.【答案解析】(-4,1)解析:解:因为bcaddbca,所以21023xxx,化简得;x2+3x<4即x2+3x-4<0即(x-1)(x+4)<0,解得:-4<x<1,故答案为(-4,1).【思路点拨】根据定义运算bcaddbca,把21023xxx化简得x2+3x<4,求出其解集即可.13、函数3()log(11)(0),afxxaxaa在(1,2)内单增,a的取值范围是【知识点】函数的单调性;不等式恒成立的问题.【答案解析】1,3解析:解:设3()1gxxax,则2()3gxxa.当1a时,若函数()fx在(1,2)内单增,则3()1gxxax在(1,2)内单增,即2()30gxxa在(1,2)内恒成立,所以23ax在(1,2)内恒成立,故3a,故13a.同理当01a时,解得12a,不满足题意舍去.综上:a的取值范围是13a.故答案为:1,3.【思路点拨】分两种情况把单调问题转化为不等式恒成立的问题即可.考生注意:14、15、16为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。Gothedistance714、.如图,过点P作圆O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE,BE,∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D,若∠AEB=40,则∠PCE[来源:学科网ZXXK]等于.【知识点】弦切角的性质和应用.【答案解析】070解析:解:PE是圆的切线,∴∠PEB=∠PAC,∵PC是∠APE的平分线,∴∠EPC=∠APC,根据三角形的外角与内角关系有:∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC,∴∠EDC=∠ECD,∴△EDC为等腰三角形,又∠AEB=40°,∴∠EDC=∠ECD=75°,即∠PCE=70°,故答案为:70°.【思路点拨】利用弦切角,以及三角形的外角与内角的关系,结合图形即可解决.15、直线cos:1sinxtlyt(t为参数,34)与圆)4sin(22(为参数)相交所得的弦长的取值范围是.【知识点】参数方程化成普通方程.极坐标方程化成普通方程.【答案解析】56[,]解析:解:直线cos:1sinxtlyt(t为参数,34)化为普通方程是y1sinxcos,即y