2016高中数学 综合测试题2 北师大版必修1

综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x2}，则A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)[答案]A[解析]A＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩B＝[－2，－1]，所以选A.2．已知集合A＝{x|0log4x1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．(1,2][答案]D[解析]因为A＝{x|0log4x1}＝{x|1x4}，B＝{x|x≤2}．所以A∩B＝{x|1x4}∩{x|x≤2}＝{x|1x≤2}．3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋exB．y＝x＋1xC．y＝2x＋12xD．y＝1＋x2[答案]A[解析]令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A.4．设f(x)＝|x－1|－2，|x|≤111＋x2，|x|1，则f[f(12)]＝()A.12B.413C．－95D.2541[答案]B[解析]由于|12|1，所以f(12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|1，所以f(－32)＝11＋－322＝1134＝413，所以f[f(12)]＝413，选B.5．log43、log34、log4334的大小顺序是()A．log34log43log4334B．log34log43log4334C．log34log4334log43D．log4334log34log43[答案]B[解析]将各式与0,1比较．∵log34log33＝1，log43log44＝1，又0341，431，∴log43340.故有log4334log43log34.所以选B.6．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为()A．a＝1，b＝0B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝3D．以上答案均不正确[答案]B[解析]对称轴x＝1，当a0时在[2,3]上递增，则f＝2，f＝5，解得a＝1，b＝0.当a0时，在[2,3]上递减，则f＝5，f＝2，解得a＝－1，b＝3.故选B.7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为()A.14B.12C．2D．4[答案]B[解析]∵当a1或0a1时，ax与loga(x＋1)的单调性一致，∴f(x)min＋f(x)max＝a，即1＋loga1＋a＋loga(1＋1)＝a，∴a＝12.8．(2015·安徽高考)函数f(x)＝ax＋bx＋c2的图像如图所示，则下列结论成立的是()A．a0，b0，c0B．a0，b0，c0C．a0，b0，c0D．a0，b0，c0[答案]C[解析]由f(x)＝ax＋bx＋c2及图像可知，x≠－c，－c0，则c0；当x＝0时，f(0)＝bc20，所以b0；当y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－ba0，所以a0.故a0，b0，c0，选C.9．已知函数f(x)满足：x≥4，f(x)＝12x；当x4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝()A.124B.112C.18D.38[答案]A[解析]f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝123＋log23＝123·12log23＝18×13＝124，选A.10．函数f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点就是方程(x－1)ln|x|－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x|＝1x－1，因此函数的零点也就是函数g(x)＝ln|x|的图像与h(x)＝1x－1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．11．设0a1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)0的x的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，loga3)D．(loga3，＋∞)[答案]C[解析]利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式．由a2x－2ax－21得ax3，∴xloga3.12．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．19B．20C．21D．22[答案]C[解析]操作次数为n时的浓度为(910)n＋1，由(910)n＋110%，得n＋1－1lg910＝－12lg3－1≈21.8，∴n≥21.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知loga120，若ax2＋2x－4≤1a，则实数x的取值范围为________．[答案](－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析]由loga120得0a1.由ax2＋2x－4≤1a得ax2＋2x－4≤a－1，∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1.14．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围________.[答案]1a54[解析]y＝x2－x＋a，x≥0x2＋x＋a，x0作出图像，如图所示．此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－14，要使y＝1与其有四个交点，只需a－141a，∴1a54.15．若函数y＝m·3x－1－1m·3x－1＋1的定义域为R，则实数m的取值范围是________．[答案][0，＋∞)[解析]要使函数y＝m·3x－1－1m·3x－1＋1的定义域为R，则对于任意实数x，都有m·3x－1＋1≠0，即m≠－13x－1.而13x－10，∴m≥0.故所求m的取值范围是m≥0，即m∈[0，＋∞)．16．已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[答案]－34[解析]首先讨论1－a,1＋a与1的关系．当a0时，1－a1,1＋a1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2.解得a＝－34.当a0时，1－a1,1＋a1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a.f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1，因为f(1－a)＝f(1＋a)所以2－a＝－3a－1，所以a＝－32(舍去)综上，满足条件的a＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若A∩B＝B，求a的值．(2)若A∪B＝B，求a的值．[分析]A∩B＝B⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.[解析]A＝{－4,0}．(1)∵A∩B＝B，∴B⊆A.①若0∈B，则a2－1＝0，a＝±1.当a＝1时，B＝A；当a＝－1时，B＝{0}，则B⊆A.②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7，或a＝1.当a＝7时，B＝{－12，－4}，B⃘A.③若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，a－1.由①②③得a＝1，或a≤－1.(2)∵A∪B＝B，∴A⊆B.∵A＝{－4,0}，又∵B中至多只有两个元素，∴A＝B.由(1)知a＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log12[(12)x－1]，(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的增减性．[解析](1)(12)x－10，即x0，所以函数f(x)定义域为{x|x0}．(2)∵y＝(12)x－1是减函数，f(x)＝log12x是减函数，∴f(x)＝log12[(12)x－1]在(－∞，0)上是增函数．19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－1x＋1，其中a∈R.(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．[解析]f(x)＝ax－1x＋1＝ax＋－a－1x＋1＝a－a＋1x＋1，设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝a＋1x2＋1－a＋1x1＋1＝a＋x1－x2x1＋x2＋.(1)当a＝1时，f(x)＝1－2x＋1，设0≤x1x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2x1＋x2＋，又x1－x20，x1＋10，x2＋10，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[0,3]上是增函数，∴f(x)max＝f(3)＝1－24＝12，f(x)min＝f(0)＝1－21＝－1.(2)设x1x20，则x1－x20，x1＋10，x2＋10.若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)0，而f(x1)－f(x2)＝a＋x1－x2x1＋x2＋，∴当a＋10，即a－1时，有f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)．∴当a－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．20．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)0，求实数a的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)g(m)成立，求m的取值范围．[解析](1)∵f(1－a)＋f(1－a2)0，∴f(1－a)－f(1－a2)．∵f(x)是奇函数，∴f(1－a)f(a2－1)．又∵f(x)在(－1,1)上为减函数，∴1－aa2－1，－11－a1，－11－a21，解得1a2.(2)因为函数g(x)在[－2,2]上是偶函数，则由g(1－m)g(m)可得g(|1－m|)g(|m|)．又当x≥0时，g(x)为减函数，得到|1－m|≤2，|m|≤2，|1－m||m|，即－1≤m≤3，－2≤m≤2，－m2m2，解之得－1≤m12.21．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]∈D(其中ab)，使得当x∈[a，b]时，f(x)的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y＝f(x)(x∈D)是闭函数．(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若f(x)＝k＋x＋2是闭函数，求实数k的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可)[解析](1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合也是[a，b]，则－a3＝b－b3＝a，解得a＝－1，b＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．(2)f(x)＝k＋x＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f(x)＝k＋x＋2是闭函数，存在区间[a，b]满足②，即k＋a＋2＝ak＋b＋2＝b即a，b是方程k＋x＋2