利用重要关系an=sn—sn—1解答高考数列试题

利用重要关系an=sn—sn—1解答高考数列试题高考数列试题的一类典型问题是求数列的通项或前n项和，解决此类问题的关键是根据已知条件和所求目标，利用数列的前n项和sn与通项an的重要关系an=sn-sn-1（n≥2）求解。标签：an=sn-sn-1解答高考数列试题梳理近几年的高考题，发现可以利用重要关系an=sn-sn-1（n≥2）解答的此类高考数列试题主要以下三种类型：（1）已知数列{an}的前n项和sn，求数列{an}的通项公式；（2）已知数列{an}的通项an与前n项和sn的关系，或前n项和之间的递推关系，求数列{an}的通项公式；（3）已知数列{an}的通项an与前n项的sn关系，求数列{an}的前n项和公式。本文从近几年此类高考数列试题出发，探究其典型解法，从而达到举一反三，触类旁通的目的。一、类型1：已知數列{an}的前n项和sn=f（n），求数列的通项公式an.例1（2014年湖南卷，文16）已知数列{an}的前n项和sn=n2+n2，n∈N*.（1）求数列{an}的通项公式；（2）略.解（1）当n≥2时，an=sn-sn-1=n2+n2-（n-1）2+（n-1）2=n.当n=1时，a1=s1=1满足上式，故数列{an}的通项公式为an=n.小结：本题的解题目标是求通项an，将sn=n2+n2带入an=sn-sn-1（n≥2）即可.一般地，若已知sn=f（n），直接利用an=f（n）-f（n-1）（n≥2）求其通项公式.二、类型2：已知数列{an}的通项an与前n项和sn的关系，或前n项和之间的递推关系，求数列的通项an.例2（2015年全国卷，理17）sn为数列{an}的前n项和，已知an0，a2n+2an=4sn+4.（1）求数列{an}的通项公式；（2）略.解（1）由a2n+2an=4sn+4，得sn=a2n+2an-44，则sn-1=a2n-1+2an-1-44，代入an=sn-sn-1得an=a2n+2an-a2n-1-2an-14，上式是一个只含目标通项an的等式，整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0.由于an0，故an-an-1-2=0，即an-an-1=2.表明{an}是公差为2的等差数列，又已知a21+2a1=4a1+3，解得首项a1=3或a1=-1（舍），故an=a1+（n-1）d=2n+1.小结：本题的解题目标仍然是求数列的通项an，而已知条件是通项an与前n项和sn的关系sn=f（an）.解答此类问题的关键是将sn=f（an）与sn-1=f（an-1）代入an=sn-sn-1（n≥2）中，得到只含目标通项的等式an=f（an）-f（an-1），再通过一系列的化简过程（比如合并同类项、分解因式、去分母等）得到an与an-1的递推关系，进而求解出通项.例3（2015年广东卷，文19）设数列{an}的前n项和为sn，n∈N*.已知a1=1，a2=32，a3=54，当且仅当n≥2时，4sn+2+5sn=8sn+1+sn-1.（1）略；（2）证明：an+1-12an为等比数列；（3）求数列{an}的通项公式.解（2）当n≥2时，将4sn+2+5sn=8sn+1+sn-1化为4（sn+2-sn+1）=4（sn+1-sn）-（sn-sn-1）.利用重要关系an=sn-sn-1（n≥2），将上式化为只含目标“通项”的等式an+2=an+1-14an（n≥2）.注意到当n=1时，a3=a2-14a1，也适合上式.故an+2-12an+1an+1-12an=an+1-14an-12an+1an+1-12an=12an+1-12anan+1-12an=12，表明数列an+1-12an是以a2-12a1=1为首项，12为公比的等比数列.（3）由（2）知an+1-12an=12n-1，等式两边同时乘以2n得2nan+1-2n-1an=2（n∈N*），故数列{2n-1an}是以1为首项，2为公差的等差数列.从而2n-1an=2n-1，即an=2n-12n-1.小结：本题的解题目标是求通项an，而已知条件是前n项和之间的递推关系sn=f（sn-1，sn-2，…）.解决此类问题的关键是对已知条件进行变形，得到形如f（sn-sn-1）=f（sn-1-sn-2）的等式，然后利用重要关系an=sn-sn-1（n≥2），得到只含目标“通项”的等式，进而求出通项.三、类型3：已知数列{an}的通项an与前n项和sn的关系，求前n项和sn.例4（2013年湖南卷，理15）设sn是数列{an}的前n项和，sn=（-1）nan-12n（n∈N+）.则（1）略；（2）s1+s2+s3+…+s100=.解：将an=sn-sn-1代入sn=（-1）nan-12n，得sn=（-1）n（sn-sn-1）-12n（n≥2）（记为①式），①式是一个只含目标前n项和的等式.（1）若①式中的n为偶数，则①式可化为sn=sn-sn-1-12n，即sn-1=-12n，此时n-1为奇数，表明s2k-1=-12k（k∈N+）.（2）若①式中的n为奇数，则①式可化为sn=-sn+sn-1-12n（n≥2），即-2sn+sn-1-12n=0.此时n为奇数，n-1为偶数，将前面的n为奇数得到的结论sn=-12n+1代入上式得-2-12n+1+sn-1-12n=0，化简得sn-1=0.表明s2k=0（k∈N+）.即sn=12n+1，n为奇数；0，n为偶数.故s1+s2+s3+…+s100=s1+s3+…+s99=（-1）141-14501-14=1312100-1.小結：本题的解题目标是前n项和sn，则将an+1=sn+1-sn代入已知条件sn=（-1）nan-12n中，得到只含目标前n项和的等式sn=（-1）n（sn-sn-1）-12n（n≥2），进而经过整理求出目标前n项和sn.例5（2008年全国卷，理20）设数列{an}的前n项和为sn，已知a1=a，an+1=sn+3n，n∈N*.（1）设bn=sn-3n，求数列{bn}的通项公式；（2）略.解（1）将an+1=sn+1-sn代入an+1=sn+3n得sn+1-sn=sn+3n，即sn+1=2sn+3n，从而得到一个只含目标前n项和sn的等式.由bn+1bn=sn+1-3n+1sn-3n=2sn+3n-3n+1sn-3n=2（sn-3n）sn-3n=2，表明数列{bn}是首项为a-3，公比为的等比数列.故所求通项公式为bn=sn-3n=（a-3）2n-1.小结：本题的解题目标是bn=sn-3n，实质也是求前n项和sn的问题.而已知条件an+1=sn+3n反映的是通项与前n项和的关系，解答此类问题的关键是将an+1=sn+1-sn代入已知条件an+1=sn+3n中，得到只含目标前n项和的等式，进而求出bn=sn-3n，亦即求出了前n项和sn.一般地，若已知通项an与前n项和sn的关系，例如an=f（sn），则将an=sn-sn-1代入an=f（sn）得到只含目标sn与sn-1的等式sn-sn-1=f（sn）.再通过化简（比如合并同类项、分解因式、去分母等一系列的过程）即可求出前项n和sn.本文通过近几年的数列高考试题，分析了利用重要关系an=sn-sn-1（n≥2）解答的三种不同类型。可以发现，类型1是基本问题，而类型2和类型3的已知条件均是“已知数列{an}的通项an与前n项和sn的关系”，因为求解目标不同，所以解法亦有很大差异。但最为关键的是“目标意识”，即紧盯解题目标，一步一步地向最终目标转化。四、练一练（1）（2015年山东卷，理18）设数列{an}的前n项和为sn.已知2sn=3n+3.（1）求数列{an}的通项公式.（2）（2015年四川卷，理16）设数列{an）（n=1，2，3，…）的前n项和sn，满足sn=2an-a3且a1，a2+1，a3成等差数列，求数列{an}的通项公式.（3）（2015新课标卷，理16）设sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1，an+1=snsn+1，则sn=.（4）已知数列{an}中，an0且sn=12an+nan，求数列{an}的前n项和sn.