不等式与线性规划

行胜于言1专题能力训练2不等式、线性规划能力突破训练1.已知实数x,y满足axay(0a1),则下列关系式恒成立的是()A.1𝑥2+11𝑦2+1B.ln(x2+1)ln(y2+1)C.sinxsinyD.x3y32.函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)0的解集为()A.{x|x2或x-2}B.{x|-2x2}C.{x|x0或x4}D.{x|0x4}3.不等式组{|𝑥-2|2,log2(𝑥2-1)1的解集为()A.(0,√3)B.(√3,2)C.(√3,4)D.(2,4)4.(2015中原名校联盟模拟)设x,y满足约束条件{𝑥-𝑦+2≥0,𝑥≤2,𝑦≥1,则z=x+2y的最小值是()A.0B.1C.4D.85.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)0的解集是()A.(-∞,-32)∪(12,+∞)B.(-32,12)C.(-∞,-12)∪(32,+∞)D.(-12,32)6.已知不等式组{𝑥+𝑦≤2,𝑥≥0,𝑦≥𝑚表示的平面区域的面积为2,则𝑥+𝑦+2𝑥+1的最小值为()A.32B.43C.2D.47.已知x,y满足约束条件{𝑥+𝑦≥5,𝑥-𝑦+5≤0,𝑥≤3,使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为()A.-3B.3C.-1D.18.(2015福建高考)变量x,y满足约束条件{𝑥+𝑦≥0,𝑥-2𝑦+2≥0,𝑚𝑥-𝑦≤0,若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于()A.-2B.-1C.1D.29.已知变量x,y满足约束条件{𝑥+𝑦≤1,𝑥-𝑦≤1,𝑥≥𝑎,若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1]D.[-1,1)10.不等式组{𝑥-𝑦≤0,𝑥-2𝑦+2≥0,𝑥≥-1表示的平面区域的面积为.行胜于言211.当实数x,y满足{𝑥+2𝑦-4≤0,𝑥-𝑦-1≤0,𝑥≥1时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.12.设不等式组{𝑥+𝑦-11≥0,3𝑥-𝑦+3≥0,5𝑥-3𝑦+9≤0表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.思维提升训练13.(2015河北邢台第二次模拟)已知实数x,y满足约束条件{𝑥-𝑦+5≥0,𝑥+𝑦≥0,𝑥≤3,若y≥kx-3恒成立,则实数k的取值范围是()A.[-115,0]B.[0,113]C.(-∞,0]∪[115,+∞)D.(-∞,-115]∪[0,+∞)14.设对任意实数x0,y0,若不等式x+√𝑥𝑦≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为()A.√6+24B.2+√24C.√6+√24D.2315.设x,y满足约束条件{4𝑥-3𝑦+4≥0,4𝑥-𝑦-4≤0,𝑥≥0,𝑦≥0,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为8,则ab的最大值为.16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=(12)𝑦,则1𝑥+4𝑦的最小值为.17.若函数f(x)=𝑥2+𝑎𝑥+1𝑥-1·lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.18.(2015浙江桐乡一中高三综合调研)已知存在实数x,y满足约束条件{𝑥≥2,𝑥-2𝑦+4≥0,2𝑥-𝑦-4≤0,𝑥2+(𝑦-1)2=𝑅2(𝑅0),则R的最小值是.参考答案能力突破训练1.D解析:由axay(0a1)知,xy,故x3y3,选D.2.C解析:∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴a0.由f(2-x)0,得a(x-2)2-4a0,∵a0,∴|x-2|2,解得x4或x0.3.C解析:由|x-2|2,得0x4;由x2-12,得x√3或x-√3,取交集得√3x4,故选C.4.B解析:行胜于言3画出不等式组所对应的平面区域,如图.通过平移直线x+2y=0可知z=x+2y在点A(-1,1)处取得最小值1.5.A解析:由f(x)0,得ax2+(ab-1)x-b0.∵其解集是(-1,3),∴a0,且{1-𝑎𝑏𝑎=2,-𝑏𝑎=-3,解得a=-1或a=13(舍去),∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3,由-4x2-4x+30,得4x2+4x-30,解得x12或x-32,故选A.6.B解析:画出不等式组表示的区域,由区域面积为2,可得m=0.而𝑥+𝑦+2𝑥+1=1+𝑦+1𝑥+1,𝑦+1𝑥+1表示可行域内任意一点与点(-1,-1)连线的斜率,所以𝑦+1𝑥+1的最小值为0-(-1)2-(-1)=13.故𝑥+𝑦+2𝑥+1的最小值是43.7.D解析:如图,作出可行域如图阴影部分所示,作直线l0:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个,则需将l0向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1.选D.8.C解析:画出约束条件{𝑥+𝑦≥0,𝑥-2𝑦+2≥0的可行域,如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.9.C解析:行胜于言4设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=-12x+𝑧2,平移直线y=-12x+𝑧2,由图象可知当直线经过点A时,直线y=-12x+𝑧2的截距最小,此时z最小,即x+2y=-5,由{𝑥+2𝑦=-5,𝑥-𝑦=1,解得{𝑥=-1,𝑦=-2,即A(-1,-2),此时a=-1,所以要使x+2y≥-5恒成立,则-1≤a≤1,故选C.10.94解析:由题意作出不等式组表示的平面区域如下:方程x-y=0,x-2y+2=0与x=-1两两联立解得,H(-1,-1),G(-1,12),I(2,2);故S△HIG=12×(12+1)×3=94.11.[1,32]解析:画出可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a0,数形结合知,满足{1≤2𝑎+1≤4,1≤𝑎≤4即可,解得1≤a≤32.故a的取值范围是1≤a≤32.12.1a≤3解析:作出平面区域D如图阴影部分所示,联系指数函数y=ax的图象,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,则a的取值范围是1a≤3.思维提升训练13.A解析:由约束条件{𝑥-𝑦+5≥0,𝑥+𝑦≥0,𝑥≤3作可行域如图:行胜于言5联立{𝑥=3,𝑥+𝑦=0,解得B(3,-3).联立{𝑥+𝑦=0,𝑥-𝑦+5=0,解得A(-52,52).由题意得{-3≥3𝑘-3,52≥-52𝑘-3,解得-115≤k≤0.故实数k的取值范围是[-115,0].14.A解析:原不等式可化为(a-1)x-√𝑥𝑦+2ay≥0,两边同除以y,得(a-1)𝑥𝑦−√𝑥𝑦+2a≥0,令t=√𝑥𝑦,则(a-1)t2-t+2a≥0,由不等式恒成立知,a-10,Δ=1-4(a-1)·2a≤0,解得a≥2+√64,amin=2+√64,故选A.15.2解析:画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为y=-𝑎𝑏x+𝑧𝑏,由已知,得-𝑎𝑏0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a0,b0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4√2𝑎𝑏,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.16.3解析:由2x-3=(12)𝑦,得x+y=3,故1𝑥+4𝑦=13(x+y)(1𝑥+4𝑦)=13(5+4𝑥𝑦+𝑦𝑥)≥13(5+4)=3,当且仅当{𝑥+𝑦=3,4𝑥𝑦=𝑦𝑥,即{𝑥=1,𝑦=2(x,y∈(0,+∞))时等号成立.17.-2解析:函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由lg𝑥𝑥-10及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+10对∀x∈{x|x0,且x≠1}恒成立,即a-x-1𝑥在定义域内恒成立,而-x-1𝑥-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.18.2解析:行胜于言6根据前三个约束条件{𝑥≥2,𝑥-2𝑦+4≥0,2𝑥-𝑦-4≤0作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.