专题15 对数函数-2017原创精品之高中数学黄金100题系列(解析版) Word版含答案

I．题源探究·黄金母题【例1】已知函数()log(1)afxx，()log(1)agxx，(0,1)aa且．（1）求函数()()fxgx的定义域；（2）判断函数()()fxgx的奇偶性，并说明理由．【解析】（1）由10x，10x得11x，∴函数()()fxgx的定义域为(1,1)．（2）根据（1）知：函数()()fxgx的定义域为(1,1)∴函数()()fxgx的定义域关于原点对称．又∵()()log(1)log(1)aafxgxxx＝()()fxgx，∴()()fxgx是(1,1)上的偶函数.II．考场精彩·真题回放【例2】【2015年湖南高考理】设函数()ln(1)ln(1)fxxx，则()fx是（）A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A【解析】显然，)(xf定义域为)1,1(，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(xfxxxf，∴)(xf为奇函数，显然，)(xf在)1,0(上单调递增，故选A．【例3】【2015高考新课标Ⅰ理】若函数()fx2ln()xxax为偶函数，则 a___________．【答案】1【解析】由题知2ln()yxax是奇函数，所以22ln()ln()xaxxax＝22ln()ln0axxa，解得1a．【例4】【2016高考全国Ⅱ卷】下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg10xy的定义域和值域相同的是（）A．yxB．lgyxC．2xyD．1yx【答案】D【解析】lg10xyx，定义域与值域均为0,，只有D满足，故选D．精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第75页B组第4题【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力．【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0．判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断()fx与()fx的关系，进而判定．【命题意图】本类题考查对数型函数的定义域与奇偶性．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用．【难点中心】（1）处理含有参数的对数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用对数函数的图象时，常常涉及不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难．III．理论基础·解题原理考点一对数与对数的运算性质（1）对数的定义如果xaN（0a且1a），那么数x叫做以a为底，N的对数，记作logaxN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a，0a且1alogaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1aa且）：①log10a，②log1aa，③logaNaN，④logNaaN．（2）对数的运算法则：如果0a，且1a，0M，0N，那么：1．Ma(log·)NMalog＋Nalog；2．NMalogMalog－Nalog；3．naMlognMalog)(Rn．（2）换底公式：logloglogabaNNb（,ab均为大于零且不等于1，0N）；利用换底公式推导下面的结论（1）abbalog1log．推广loglogloglogabcabcdd．（2）bmnbanamloglog，特例：loglognnaabb考点二对数函数的定义函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自量，函数的定义域是(0,)．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．考点三对数函数图象与性质图象1a01a性（1）定义域：(0,)质，（2）值域：R（3）当1x时，0y，即过定点（1，0）（4）当01x时，(,0)y；当1x时，(0,)y（4）当1x时，(,0)y；当01x时，(0,)y（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数abcd，，，与1的大小关系提示：作一直线1y，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数．∴01cdab．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；2．在解答题常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等．【技能方法】1．转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化，同时要熟练应用公式：log10a，log1aa，logaNaN，logbaab．2．数式化简与求值的规律含有对数的代数式的化简关键是减少含有对数的项的个数，而含对数的项的合并常用对数的性质，因此，化简要朝这个方向进行.一般有如下规律：（1）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并；（2）熟练地运用对数的三个运算性质和换底公式并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧；（3）指数式baN与对数式logaNb的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．3．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的方法步骤：（1）先求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.4．求函数的最值(或值域)（1）直接法：充分利用函数的单调性和图象直接求解．（2）转化法：利用运算公式将含有对数式的函数转化为求二次函数最值问题，然后采用配方法求解，但需注意自变量的范围．（3）分解法（复合法）：求解步骤：①分解成log,ayuufx两个函数；②求()fx的定义域；③求u的取值范围；④利用logayu的单调性求解．【易错指导】1．在对数运算中，忽视真数的限制条件，如已知lglg2ln(2)xyxy，求2logxy的值；2．错误利用对数的运算性质，如求值：1lg142lglg7lg183；3．忽视函数中的定义域，如求函数212log(23)yxx的单调递增区间；4．混淆函数定义域与值域的理解，如若函数2lg(1)xax的值域为R，求实数a的取值范围；5．忽视对含参底数的讨论，如已知函数(log24)ayxx的最大值比最小值大1，求a的值；6．忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求221()3xxy的单调区间．V．举一反三·触类旁通考向1对数运算性质的应用【例1】．【2015高考安徽文】151lg2lg2()22___________．【答案】-1【解析】法一：原式＝12122lg5lg2lg22lg5lg．法二：1515lg2lg2()lglg42222＝5lg(4)21212．【例2】【2016高考浙江理】已知1ab.若loglo52gabba，baab，则a_________，b___________．【答案】42【解析】设log,1batt则，所以152tt，解得2t，所以2ab，于是由baab，得22bbbb，考向2求对数型函数的定义域【例3】【2015高考湖北文科】函数256()4||lg3xxfxxx的定义域为（）A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)(3,4]D．(1,3)(3,6]【答案】C【解析】由函数()yfx的表达式可知，函数()fx的定义域应满足条件：2564||0,03xxxx，解得44,2,3xxx，即函数()fx的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C．【方法归纳】求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数．考向3对数函数的奇偶性【例4】【2014高考湖南文】若3lne1xfxax是偶函数，则a_________．【答案】32【解析】因为函数3ln1xfxeax为偶函数,所以fxfx，即33lne1lne1xxaxax，所以333e1lnlne1exxxaxax，即3lne13xxax＝3lne1xax，即32xax，所以32a．【名师点睛】此类试题主要表现为已知函数的单调性求相关的参数，其思考方向：（1）利用定义域的对称性建立方程求参数；（2）利用定义()()fxfx或()()fxfx建立方程求参数；（3）若函数()fx为奇函数，且在0x有定义，则利用(0)0f求参数．考向4求对数函数的单调区间【例5】【2014高考天津理】函数()()212log4fxx=-的单调递增区间是（）A．()0,+¥B．(),0-¥C．()2,+¥D．(),2-?【答案】D【解析】函数212log4fxx的定义域为,22,，由于外层函数为减函数，由复合考向5对数函数的单调性的应用【例6】【2013高考全国新课标Ⅱ理】设357log6,log10,log14abc,则（）A．cbaB．bcaC．acbD．abc【答案】D【解析】因为33log61log2a，55log101log2b，77log141log2c，又2logyx是增函数，所以222log7log5log3．因为227511log7,log5log2log2，231log3log2，所以357log2log2log2，所以abc，故选D．【名师点拨】比较两个对数值大小方法：（1）如果同底数或可转化为同底数的两个对数值的比较，只须确定其对应函数的单调性，利用真数的大小即可比较；（2）如果底数不同且不能转化为同底数的两个对数值，则此时可考虑引入一个中间数，间接比较这两个对数值的大小．【例7】【2016届青海省平安一中高三4月月考文】已知函数212logyxaxa在区间2,上是减函数，则实数a的取值范围是___________．【答案】4a【解析】令2txaxa，则有函数fx在区间2,上是减函数，可得函数t在区间2,上【例8】【2016届安徽省六安市一中第四次月考理】不等式12log(1)1x的解集是_______．【答案】3(1,)2【解析】由log()1211x得1012x，即312x．【名师指导】求对数不等式的解集主要就是利用其单调性，因此必须考察对数的底数，同时易忽视真数的限制条件．考向6对数函数的最值（值域）【例9】【2014高考重庆理】函数22()loglog(2)fxxx的最小值为___________．【答案】14【解析】