高斯定理(精)

第三节高斯定理高斯定理是静电场的一个重要定理，它是关于电场中闭合曲面电通量的定理，在讨论这个定理之前先介绍电通量的概念。一、矢量场与电通量通量是描述矢量场性质的一个物理量，流体力学中流量的概念是大家熟知的，我们就从流量来引入通量的概念，由矢量描述的物理场，称为矢量场；用标量描述的物理场，则称为标量场。vnvnˆS如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v是一个矢量函数，整个流体是一个速度场），取一微小面元Δs,n为面元Δs的法线方向的单位矢量.单位时间内流过ΔS的流体体积叫做ΔS的通量，由于ΔS很小，可以认为其上各点的流速v处处相等。单位时间内通过ΔS的流体体积，它在数值上等于以ΔS为底以v为母线的柱体体积，即SAA（称为矢量对面元的通量）SA将上面通量的定义推广到任意矢量场，则ASvSvnvcosSESEE即场强与面元在场强方向的投影的乘积就是面元的电通量。SS电场强度矢量的通量称为电通量。设电场中某一点p的场强为E，包含P点取一面元，n为面元法线方向的单位矢，为E和n之间的夹角。我们定义：面元的电通量为SSEnESSPnE.S下面，我们对电通量作进一步的讨论（1）电通量是代数量。场强和面元矢量的夹角θ之不同，电通量有正、负。E为正例如当,0cos,900（2）电通量是场强在曲面上的积分量，它不仅与场强有关，还与曲面的大小、方向有关，因此，它不是点函数，只能说某曲面的电通量，不能讲某点的电通量。SE（3）如果是有限曲面S，则面上各点场强大小和方向一般是不同的，这时可以把此曲面分成无限多个面元ds,整个曲面S的电通量就是所有面上的电通量的代数和，即面积分为ssEESdEdE如果是封闭曲面，则其电通量为sESdE表示沿整个闭合曲面积分。这里要注意一个曲面的法线式两有正、反两种取法，对于非闭合曲面来讲，可取其中任意一个为法线矢量的正方向；但对于闭合曲面来讲，它把空间划分为内外两部分，其法线矢量的两种取向就有了特定的意义，通常规定外法线矢量为正。s式中二、高斯定理如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲面的电通量呢？1839年，德国科学家高斯在这方面作了重要工作，高斯定理可以表述为：静电场中任意闭合曲面s的电通量φe，等于该曲面所包围的电荷的代数和Σqi除以ε0，与闭合面外的电荷无关。这里s通常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学形式为：SniiqsdE01（1）包围点电荷q的同心球面的电通量都等于dsrqEdssdEde2041以正点电荷q所在处为中心，任意半径r作一球面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在球面上任取一小面元ds，其外法线矢量n也是沿半径方向向外的，即n与E的夹角为0，0q高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。）022020204414141qrrqdsrqdsrqsse因此通过整个闭合球面的电通量为：当点电荷为负时（q0），球面上各点场强方向与该点所在面元法线方向相反，整个球面的电通量为负，所以上式仍然成立。这一结果的重要性在于，电通量φe与球面半径r无关。（2）包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量都等于0q)(弧度rlllrr’o)(弧度220rr需补充一点数学知识—立体角l平面角:一个园，其半径为r，弧长为那么平面角为：整个圆周所张的角：对于两个同心圆，半径不同，弧长也不同，但可对应同一个平面角，即rlrl（与半径r的选择无关）立体角：一个球面上的面元ds，对球心所张的角，在空间包围一定的范围，可想象为一个锥体的“顶角”，用表示，仿照度量平面角的方法，即dordsds’r’d)(2球面度rdsd(sr)整个球面对球心所张的立体角对于两个同心球面，随着半径r增大，面积ds也增大，但对应的立体角不变，即)(44220球面度rr22rsdrdsd（与半径r的选择无关）PrdsdnrdsP任意面元对一点所张的立体角若由P点到面元的矢径与面元法线方向相同，则若与面元不垂直，即与面元法线有夹角θ，则由此可见，立体角也有正、负之分：r2rdsdrr222ˆcosrrsdrdsrdsdn02;02dd当当任意曲面对一点所张的立体角为：主要结论：第一个结论：任意闭合曲面，对面内一点所张的立体角等于4πsrrsdd2ˆPdΩ这是因为它和一个球面对球心所张的立体角相同。第二个结论：任意闭合曲面对面外一点所张的立体角为零。P2ˆn2ˆnS1S2dcosEdssdEdeSPqdsdnˆE:cosˆˆˆ420从而得到而nrrrqEcos420dsrqde闭合面的总通量为：定理得证444cos4cos40002020qqdqrdsqdsrqdSSSSee(3)通过不包围点电荷的任意闭合曲面s的电通量恒为零。dsds’qnˆnˆEθS定理得证0044cos4cos4002020qdqrdsqdsrqdSSSSee（4）多个点电荷的场设系统中有K个点电荷，其中个点电荷在闭合面内，个点电荷在闭合面外，由电场的叠加原理，总的场强是各点电荷场强的矢量和。NL,2,1KNNL,2,1++KEEEEL+++21总通量为：0Si0N0201SKS2S1SK21Sq0qqqSdESdESdESdEEESdE++++++++++面内LLL注意：a)Gauss定理与库仑定律不是两个独立的物理定律，只是用不同的方式表达同一定律，Gauss定理取决于相互作用平方反比的性质，还取决于作用的迭加性质，它揭示了场与场源间的联系，是库仑定律的逆定律。b)高斯定理只告诉我们，闭合面的总通量仅由面内的电荷决定的，并没有说面上各点的场强仅由面内的电荷产生。场强仍应理解为所有电荷（包括闭合面外的电荷）的总场强，要注意区别的通量和本身。Ec)是代数和，当时并不意味着闭合面内一定没有负电荷，也不意味着闭合面上一定没有负的通量，但是闭合面的总通量必然为正。反之，当时，并不意味着闭合面内一定没有正电荷，也不意味着闭合面上一定没有正的通量，但是闭合面的总通量必然为负。所以要注意区别闭合面上的部分通量和总通量。d)当时，并不说明闭合面内一定没有电荷，而可能是有等量异号的电荷，同时，它只能说明闭合面的总通量为零，而并非面上的场强处处为零。iq0iq0iq0iq作业：电荷电量Ｑ均匀分布于内外半径为Ｒ1和R2的球壳上，求其场强的分布？并作出E～r的分布图。