江苏省苏州市第五中学高中数学 第一章《导数及其应用》单元检测 苏教版选修2-2

江苏省苏州市第五中学高中数学第一章《导数及其应用》单元检测苏教版选修2-2一、知识点梳理导数实际背景导数定义导函数基本导数公式导数运算法则求简单函数的导数导数的应用判断函数的单调性判断函数的极大(小)值求函数的最大(小)值导数几何意义二、学法指导1．本章内容共分为四节，第一节是导数的概念．教材通过实例给出了平均变化率，进而给出了函数平均变化率的概念．接着教材给出了曲线上一点处的切线、瞬时速度和瞬时加速度的概念，进而给出了导数的概念．第二节是导数的运算，教材介绍了常见函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数．第三节是导数在函数研究中的应用，主要是利用导数研究函数的单调性、求函数的极大值、极小值以及求函数在闭区间上的最大值和最小值．第四节是导数在实际生活中的应用，主要是利用导数的方法求实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等最优化的问题．2．本章的重点：一是利用导数的定义求简单函数的导数，能利用导数公式表、运算法则求导数．二是利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值、极小值、最大值、最小值．三是利用导数的方法解决实际应用问题．本章的难点是对导数概念的理解，导数方法的应用，特别是求一些实际问题的最值．3．建议：(1)借助于实例，从平均速度、瞬时速度到函数的瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念．通过例题，体会利用导数的定义求导数的方法．(2)借助于图形去认识和理解导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的作用．(3)利用基本初等函数的求导法则和四则运算求导数，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此，观察表达式的特点，对表达式进行适当的变形时优化解题过程的关键．对于复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．(4)利用导数的方法解决实际问题时，数学建模是关键．特别是对有关物理问题，能够将其物理意义与求导数联系起来．三、单元自测(一)填空题(每小题5分，共70分)1．半径为R的圆受热均匀膨胀，若半径增加了r，则圆面积的平均膨胀率是__________．2．已知函数()2xfx，则(2)f=__________________．3．已知函数y＝log2(3x＋1)，则它的导数为_______________．4．如图，函数)(xfy的图象在点P处的切线方程是8xy，则(3)(3)ff=．5．若()2fa，则当h无限趋近于0时，()()2fahfah→____．6．已知函数32()32,[0,]fxxxxm在x=0处取得最大值，在x=2处取得最小值，则m的取值范围是．7．要做一个母线长为20厘米的圆锥形的漏斗，当高为厘米时，该漏斗的体积最大?8．设0a函数axxxf3)(在),1[上是单调函数，则实数a的取值范围为________．9．若函数f(x)=31(1)34xax在其定义域内没有极值，则a的取值范围为_________．10．若21()ln(2)2fxxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是__________．11．设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a___________．12．设函数cos30fxx，若fxfx是奇函数，则__________．13．函数f(x)=x3－3x，1,2xa的最小值为a－2，则实数a的值为__________．14．已知()fx是定义在(,0)(0,)上的奇函数，当0x时，()lnfxxax．若函数()fx在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是．(二)解答题(15、16每小题13分，17~20每小题16分，共90分)15．如果曲线31yxx的某一条切线与直线133yx平行，求切点坐标和切线方程．16．已知a是实数，函数()()fxxxa，求函数()fx的单调区间．17．如图，在矩形地块ABCD中有两条道路AF，EC，其中AF是以A为顶点的抛物线段，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．在两条道路之间计划修建一个公园，公园的形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边，如图所示)．求该公园的最大面积．18．设函数1()(01)lnfxxxxx且(1)求函数()fx的单调区间；(2)已知12axx对任意(0,1)x成立，求实数a的取值范围．19．已知2()(2,)fxxaxaaxR，()xgxe，()()()xfxgx．(1)当a=1时，求()x的单调区间；(2)是否存在实数a，使()x的极大值为3?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．20．已知函数2*()2cosπln(fxxakxkN，aR，且0a）．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若2010k，关于x的方程()2fxax有唯一解，求a的值．高二数学《导数及其应用》单元测试试卷答案一、填空题：(每小题5分，共70分)1．2Rr2．ln243．3(31)ln2x4．45．16．2,37．20338．0,39．,110．(,1]11．212．613．014．1(0,)e二、解答题：15．当切点为(2,11)时，切线方程为1315yx；………………………………6分当切点为(2,9)时，切线方程为1317yx．………………………………13分16．解：函数的定义域为[0)，，………………………………………………1分3()22xaxafxxxx（0x）．………………………………………………3分若0a≤，则()0fx，()fx有单调递增区间[0)，．…………………………7分若0a，令()0fx，得3ax，当03ax时，()0fx，当3ax时，()0fx．()fx有单调递减区间03a，，单调递增区间3a，．…13分17．解：建立如图所示的直角坐标系…………………2分则有抛物线段的方程为x2=y（0x2）………7分E（0，4），C（2，6），EC的方程为y=x+4．设P(x,x2)（x∈(0,2)），则PQ=x，QE=4－x2，PR=4+x－x2．面积……………9分，即得（舍负）……11分+0－S单调增极大值单调减S在时取极大值，即为最大值，最大值为……………………………15分答：该公园的最大面积为……………………………………………16分18．解(1)'22ln1(),lnxfxxx………………………………………………2分若'()0,fx则1xe………………………………………………3分列表如下：x1(0,)e1e1(,1)e(1,)'()fx+0--()fx单调增极大值1()fe单调减单调减()fx有单调递增区间10,e，单调递减区间1,1e和1，．………………9分(2)在12axx两边取对数，得1ln2lnaxx，由于01,x所以1ln2lnaxx（1）由(1)的结果可知，当(0,1)x时，1()()fxfee，为使(1)式对所有(0,1)x成立，当且仅当ln2ae，即ln2ae……………16分19．解：（1）当221,()(1),'()()xxaxxxexexx时．……2分'()0,01;'()0,10.xxxxx当时当时或∴()x的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为(,0)，(1,)．……7分（2）22'()(2)()[(2)]xxxxxaeexaxaexax，…………9分令'()0,02xxxa得或．………………10分a=2时，()x无极值；a≠2时，列表如下：x(－∞，0)0（0，2－a）2－a(2－a，+∞)'()x－0+0－()x↘极小↗极大↘由表可知，2()(2)(4)axaae极大．………………13分设22()(4),'()(3)0aaaaeaae，∴()(,2)a在上是增函数，∴()(2)23a，即2(4)3aae，∴不存在实数a，使()x极大值为3．…………………………16分20．（1）由已知得x＞0且2()2(1)kafxxx．当k是奇数时，()0fx，则f(x)在(0,+)上是增函数;…………………3分当k是偶数时，则2()()2()2xaxaafxxxx．…………………5分所以当x0,a时，()0fx，当x,a时，()0fx．故当k是偶数时，f(x)在0,a上是减函数，在,a上是增函数．……………7分（2）若2010k，则2*()2ln()fxxaxkN．记g(x)=f(x)–2ax=x2–2axlnx–2ax,222()22()agxxaxaxaxx,若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；……………………………9分令()0gx,得20xaxa．因为0,0ax，所以21402aaax（舍去），2242aaax．………………………11分当2(0,)xx时，()0gx，()gx在2(0,)x是单调递减函数；当2(,)xx时，()0gx，()gx在2(,)x上是单调递增函数．当x=x2时,2()0gx，min2()()gxgx．………………………………12分因为()0gx有唯一解，所以2()0gx．则22()0()0gxgx，，即22222222ln200xaxaxxaxa，，…………………………………13分两式相减得22ln0axaxa，因为a0，所以222ln10(*)xx．…………14分设函数()2ln1hxxx，因为在x0时，h(x)是增函数，所以h(x)=0至多有一解．因为h(1)=0，所以方程(*)的解为x2=1，从而解得12a．……………………16分