简单的线性规划

Gothedistance学案35简单的线性规划问题导学目标：1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．自主梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式Ax＋By＋C0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的正负．当C≠0时，常选用______________．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C0(或0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B0时，①Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0______的区域；②Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0______的区域．(2)画不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．(4)可行解：满足________________的解(x，y)．(5)可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．自我检测1．(2011·北京东城1月检测)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(0,1)2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()3．(2010·重庆)设变量x，y满足约束条件x≥0，x－y≥0，2x－y－2≤0，则z＝3x－2y的最大值为()A．0B．2C．4D．6Gothedistance4．(2010·浙江)若实数x，y满足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my＋1≥0，且x＋y的最大值为9，则实数m等于()A．－2B．－1C．1D．25．(2010·天津河西高三期中)已知实数x，y满足x＋y≥2，x－y≤2，0≤y≤3，则z＝2x－y的最大值为________.探究点一不等式组表示的平面区域例1画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？变式迁移1(2011·安庆模拟)在平面直角坐标系中，有两个区域M、N，M是由三个不等式y≥0，y≤x和y≤2－x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1(0≤t≤1)所确定．设M、N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)等于()A．－2t2＋2tB.12(t－2)2C．1－12t2D．－t2＋t＋12探究点二求目标函数的最值例2(2010·天津)设变量x，y满足约束条件x＋y≤3，x－y≥－1，y≥1，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为()A．12B．10C．8D．2变式迁移2(2010·山东)设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为()A．3，－11B．－3，－11C．11，－3D．11,3探究点三线性规划的实际应用例3某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分．假定甲、Gothedistance乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？变式迁移3(2010·四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱数形结合思想的应用例(12分)变量x、y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，(1)设z＝4x－3y，求z的最大值；(2)设z＝yx，求z的最小值；(3)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．【答题模板】解由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1作出(x，y)的可行域如图所示．由x＝13x＋5y－25＝0，解得A1，225.Gothedistance由x＝1x－4y＋3＝0，解得C(1,1)．由x－4y＋3＝03x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．[4分](1)由z＝4x－3y，得y＝43x－z3.当直线y＝43x－z3过点B时，－z3最小，z最大．∴zmax＝4×5－3×2＝14.[6分](2)∵z＝yx＝y－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25.[9分](3)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.[12分]【突破思维障碍】1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：画出可行域→明确目标函数z的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值2．常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【易错点剖析】本题会出现对(2)(3)无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题．1．在直角坐标系xOy内，已知直线l：Ax＋By＋C＝0与点P(x0，y0)，若Ax0＋By0＋C0，则点P在直线l上方，若Ax0＋By0＋C0，则点P在直线l下方．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0外任意取两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．3．线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)Gothedistance1．(2011·龙岩月考)下面给出的四个点中，位于x＋y－10，x－y＋10表示的平面区域内的点是()A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)2．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为()A．2B．1C.12D.143．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．42B．32C．4D．34．(2011·安徽)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为()A．1，－1B．2，－2C．1，－2D．2，－15．(2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·北京改编)设不等式组x＋y－11≥0，3x－y＋3≥0，5x－3y＋9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是________．7．(2011·长沙一中月考)已知实数x、y同时满足以下三个条件：①x－y＋2≤0；②x≥1；③x＋y－7≤0，则yx的取值范围是______________．8．(2011·湖南师大月考)设不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域为M，若函数y＝k(x＋1)＋1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是____________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2010·广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？Gothedistance10．(12分)已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝2y＋1x＋1的范围．11．(14分)(2011·杭州调研)预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？学案35简单的线性规划问题自主梳理1．(1)原点(0,0)①上方②下方2.(4)线性约束条件(5)可行解(6)目标函数3.(3)最优解自我检测1．B2.C3.C4.CGothedistance5．7课堂活动区例1解题导引在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计．解(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈－52，3，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5，－2≤x≤3，且x∈Z.当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y