初三中考数学--锐角三角函数

第18讲锐角三角函数考点1锐角三角函数的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则∠A的正弦sinA=A的对边斜边=ac余弦cosA=A的邻边斜边=bc正切tanA=AA的对边的邻边=ab考点2特殊角三角函数值三角函数30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313考点3解直角三角形解直角三角形常用的关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则三边关系a2+b2=c2两锐角关系∠A+∠B=90°边角关系sinA=cosB=accosA=sinB=bctanA=ab1.特殊角的三角函数的记忆可借助一副三角板：含30°角的三角板三边比为1∶3∶2;含45°角的三角板三边比为1∶1∶2.2.在运用三角函数的定义建立方程时，选好三角函数是关键，选好三角函数的一般规律是：“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”.命题点1锐角三角函数的意义例1(2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=()A.35B.45C.34D.43方法归纳：解答本题的关键是结合网格特征正确理解锐角三角函数的概念.1.(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=35,则cosB的值是()A.45B.35C.34D.432.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则sinB的值是()A.45B.35C.34D.433.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是.命题点2特殊角的三角函数值例2(2014·舟山)计算：8+(12)-2-4cos45°.【解答】方法归纳：解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值和实数运算法则.1.(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=32,cosB=12,则∠C=.2.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°-2)160(tan的值是()A.23-2B.0C.23D.2命题点3解直角三角形例3(2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，则AB的长为.【思路点拨】结合题中条件，本题通过过点C作CD⊥AB，把它转化为直角三角形问题,运用解直角三角形知识来求解.方法归纳：在一个直角三角形中，已知一边和一锐角，可以运用已知锐角的三角函数求出未知边的长.1.(2013·牡丹江)在Rt△ABC中，CA=CB，AB=92，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=13，则BD的长为.2.(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA=32,求sinB+cosB的值.3.(2013·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=13，AD=1.求BC的长.命题点4解直角三角形的应用例4(2014·自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后结果精确到0.1米，参考数据：3=1.7)【思路点拨】要求CD的长，必须求出DE、CE的长，可以通过过B点作BE⊥DC于点E，分别构造Rt△BCE和Rt△BDE，又因为∠CBE=30°，∠DBE=45°，BE=2.7米，所以可以运用解直角三角形来解答.【解答】方法归纳：通过作垂线将实际问题构造双直角三角形问题，然后利用解直角三角形得知识来解决实际问题.1.(2014·湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线l上距离D点多远的C处开挖？(2≈1.414，精确到1米)2.(2014·荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC、BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时、18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处？(参考数据：cos59°≈0.52,sin46°≈0.72)3.(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上).求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离.1.(2013·天津)tan60°的值等于()XKB1.COMA.1B.2C.3D.22.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是()A.34B.43C.35D.453.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是()A.9mB.6mC.63mD.33m4.(2014·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,tanA=12,则BC的长是()A.2B.8C.25D.45x§k§b15.(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.56.(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanB的值为()A.1213B.512C.1312D.1257.(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是.8.(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=32；②cosB=12；③tanA=33；④tanB=3，其中正确的结论是.(只需填上正确结论的序号)9.(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示).10.(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为m(结果保留根号).11.(2014·内江)计算：2tan60°-|3-2|-27+(13)-1.12.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=34，求sinC的值.13.(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为22米，求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62)x§k§b114.(2014·日照)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)15.(2014·巴中)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)16.(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是()A.31010B.12C.13D.101017.(2013·济南)已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于()A.23B.34C.43D.3218.(2014·遂宁)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=;sin2A2+sin2B2=;sin2A3+sin2B3=;(1)观察上述等式.猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°.都有：sin2A+sin2B=.图4(2)如图4,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.(3)已知：∠A+∠B=90°,且sinA=513,求sinB.19.(2013·聊城)如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的点B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住.为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处.已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上.(参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)？参考答案各个击破例1D题组训练1.B2.B3.12例2原式=22+4-4×22=22+4-22=4.题组训练1.60°2.B例33＋3题组训练1.62.在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB-AD＝8，在Rt△BCD中，BC＝2286＝10，∴sinB＝CDBC＝35，cosB＝BDBC=45.∴sinB＋cosB＝75.3.∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB=13，AD=1，∴AB=3，∴BD=2231=22.∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD=1.∴BC=22+1.例4过B点作BE⊥DC于E点，DC的延长线交地面于F.xkb1∵BA⊥AF，DF⊥AF，∴四边形ABEF为矩形，BE=2.7.xkb1.com在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，tan∠CBE=CEBE,∴CE=BE·tan30°=9310；在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，BE=2.7,∴DE=2.7，DC=2.7-9310≈1.2.答：塑像CD的高度约为1.2米.题组训练1.∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°.∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°,∴∠D=45°,∴CB=CD.在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，∴2CD2=8002，CD=4002≈566(米).答：直线l上距离D点566米的C处开挖.2.过C作CD⊥AB于D，设CD=h(海里),两船从A、B到C的时间分别是t甲、t乙(小时).则∠ACD=59°,∠CBD=90°-44°=46°.在Rt△ACD中，cos59°=CDAC=hAC≈0.52,则AC=0.52h.在Rt△BCD中，sin46°=CDBC=hBC≈0.72,则BC=0.72h.∴t甲=20AC=0.5220h=10.4h,t乙=18BC=0.7218h=12.96h.∵12.9610.4,∴t甲t乙，即乙船先到达C处.3.过A作AD⊥BC于D，则AD的长度即是A到岸边BC的最短距离.在Rt△ACD中，∠ACD=45°.设AD=x,则CD=AD=x.在Rt△ABD中，∠ABD=60°.由tan∠ABD=ADBD得tan60°=xBD,∴BD=60xtan=33x.又BC=4,即BD+CD=4,∴33x+x=4,解得x=6-23.即小岛上标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离为(6-23)公里.整合集训1.C2.C3.B4.A5.A6.D7.128.②③④9.7tanα1