古典概型四类重点题型

古典概型四类重点题型古典概型一种十分重要的概率模型,是学习概率与统计的起点,注意古典概型的两个特征:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件的发生都是等可能的.只有在同时满足（1）、（2）的条件下，运用的古典概型计算公式P（A）=nm得出的结果才是正确的。下面就古典概型的四种重要题型举例解析如下:一、概念辨析题例1.判断下列命题正确与否．(1)先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是31；(2)射击运动员向一靶心进行射击．试验的结果为：命中10环，命中9环，……，命中0环，这个试验是古典概型．(3)袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．【思路点拨】根据每一次试验的意义和每个基本事件的含义进行判断.【解】所有命题均不正确.(1)应为4种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面”.(2)不是古典概型，因为命中10环，命中9环，…命中0环不是等可能的．(3)摸到红球的概率为94，白球的概率为31，黑球的概率为92．【方法技巧】弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性．二、写出基本事件且求其概率例2做如下试验：“将一枚均匀硬币抛掷两次”．(1)试用列举法写出该试验所包含的基木事件；(2)事件A“两次都出现正面”包含几个基本事件？(3)事件B“一次出现正面，一次出现反面”含有的基本事件是什么？(4)计算P(A)和P(B)．【思路点拨】试验“将一枚均匀硬币抛掷两次”中，由于出现的结果有限，每次只能有一种结果（一枚硬币要么正面朝上，要么反面朝上），且每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验是古典概型．当试验的结果较少时，可用列举法将所有试验结果一一列出，这是最基本、最直观的方法．同样地可把事件A或事件B所含的基本事件一一列出．计算古典概型的概率关键是确定m,n.【解】(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷两次”所出现的所有基本事件如下：(正，正)、(正，反)、（反，正）、（反，反）共4种等可能的结果．(2)事件A包含的基本事件只有一个，即（正，正）．(3)事件B包含的基本事件有两个，即（正，反）和（反，正）．(4)P(A)=41,P(B)=2142.【方法技巧】本题在求试验的基本事件总数时，用枚举法将所有结果一一列举出来、直观而具体，但应把握列举的原则，不要出现重复和遗漏．三、求简单古典概型的概率例3如图，在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色，将它的棱3等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中．(1)从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率是多少？(2)从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少？【思路点拨】该模型为古典概型，基本事件个数是有限的，并且每个基本事件的发生是等可能的．【解】在27个小正方体中，恰好3个面都涂有颜色的共8个，恰好2个面涂有颜色的共12个，恰好1个面涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．(1)27个小正方体中任意取出1个，共有127C=27种等可能的结果．因为在27个小正方体中，表面没涂颜色的只有1个，所以从这个口袋中任意取出1个小正方体，而这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是271P.(2)从27个小正方体中，同时任取2个，共有227C种等可能的结果．在这些结果中，有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果有)(1811216CCC种．所以从这个口袋中同时任意取出2个小正方体,其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是11740)(2271811216CCCCP.【方法技巧】（1)计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n;②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P.(2)含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质)(1)(APAP进一步求解．四、复杂的古典概型的概率的求法例4甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(I,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．【思路点拨】因为共有4张牌，基本事件的总数是有限的，而且每张牌被抽到是等可能的，因此是古典概型，另外要注意牌是不放回摸牌，每次摸出的牌不能重复．【解】(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，其他用相应的数字表示）为：(2,3),(2,4),(2,4’)，（3,2），（3，4），（3，4’），（4，2），（4，3），（4，4’），（4’，2），（4’，3），(4’，4)共12种不同情况．(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4’，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为32.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2,(4,2),(4,3),(4’,2)，(4’,3)共5种，故甲胜的概率1251P,同理乙胜的概率为1252P.因为P1=P2，所以此游戏公平.【方法技巧】本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2,红桃3,红桃4和方片4分别用数字2,3,4,4’表示，抽象出基本事件，把复杂事件用简单事件表示，列举出总体I包含的基本事件的个数n及事件A包含的基本事件的个数m，用公式nmIcardAcardAP)()()(求解．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.