古典概型中的一个易错问题

1/3古典概型中的一个易错问题对于古典概型概率的求法，只要求出基本事件总数和事件A包含的基本事件个数就行了。困难在于确定基本事件，使之具有有限性和等可能性。判断等可能性是被许多人忽略，又使许多人感到困惑的问题，要做好这一点，需要严谨的思维，切忌想当然。本文就是对这类问题出现的错误归类予以剖析，以期引起大家的注意。例1.一个家庭有两个小孩，求他们中至少有一个女孩的概率。错解：样本空间：两个女孩或两个男孩或一男一女，用A表示“至少有一女孩”这一事件，则={(男，男),(男，女),(女，女)}A={(男，男),(男，女)}P(A)=23解析：上述解法在考虑样本空间时，两个女孩或两个男孩或一男一女发生的可能性不相等。古典概型中，P(A)=A包含基本事件的个数基本事件的总数仅当所述的试验结果是等可能时才成立。两个女孩只可能是（女，女），但有一女孩的情况有（男，女），（女，男）两种情况，所以={(男，男),(男，女),（女，男），(女，女)}A={(男，女)，(女，男),（女，女}，P(A)=34例2.设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球，（1）求这两只球都是白球的概率；（2）求这两只球中一只是白球一只是黑球的概率。错解1：一次摸出2个球，观察结果的颜色只能有（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种情况，即={(白，白),(白，黑),（黑，黑）}。（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，A={(白，白)}，所以P(A)=13（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，B={(白，黑)}，所以P(B)=132/3错解2：从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有65215种可能结果，（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4326种可能结果，所以P(A)=25（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有4224种可能结果，所以P(B)=215解析1：在上述错解1中（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种结果出现不是等可能的。我们不妨把4个白球标以1，2，3，4号，2个黑球标以5，6号，则={(1，2),(1，3),…(1，6)（2，1），（2，3），…（2，6）…（6，1）（6，2）…（6，5）}。（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A={(1，2),(1，3),(1，4)（2，1），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）}，所以P(A)=25（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B={（1，5，），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4）}，所以P(B)=815解析2：在上述错解2中，计算基本事件个数时看做是无顺序的，所以第（2）问中事件B应有428种结果。正确解法如下：从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有6530种可能结果，（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有4312种可能结果，所以P(A)=25（2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有42216种可能结果，所以P(B)=815例3.在一个盒子中装有12枝圆珠笔，其中7枝一等品，5枝二等品，从中任取3枝，求恰有1枝一等品的概率：错解：从中任取3枝，第一次有12种取法，第二次有11种取法，第三次有10种取法，所以3/3从12枝圆珠笔任取3枝的情况共有121110种；用A表示“恰有1枝一等品”这一事件，则事件A共有754种情况，P(A)=754712111066解析1：错解中基本事件的总数共有121110种取法，这表明在计算基本事件总数时是看作是有顺序的，所以在计算事件A包含基本事件的个数时，也应该看作是有顺序的。一等品的圆珠笔可能是第一次取道的，也可能是第二次、第三次，所以事件A共有5473种情况。P(A)=5473712111022解析2：上述例题在计算基本事件总数时也可以看作是无顺序的，若看作是无顺序的，则基本事件总数为1211106，事件A包含基本事件的个数为5427（），P(A)=54277121110622（）