重庆市重庆一中2015届高三上学期第一次月考数学(文)试卷

Gothedistance1秘密★启用前2014年重庆一中高2015级高三上期第一次月考数学试题卷（文科）2014.9一、选择题：（每小题5分，共计50分）1、已知i为虚数单位，若1(,)1iabiabRi，则ab（）A．0B．1C．1D．22、命题“若函数mxexfx)(在),0[上是减函数，则1m”的否命题是（）A．若函数mxexfx)(在),0[上不是减函数，则1mB．若函数mxexfx)(在),0[上是减函数，则1mC．若1m，则函数mxexfx)(在),0[上是减函数D．若1m，则函数mxexfx)(在),0[上不是减函数3、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则yx,的值分别为（）A．5,2B．5,5C．8,5D．8,84、下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)上单调递增的是（）A．()2xfxB．2()1fxxC．3()fxxD．21()fxx5、阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A．4iB．5iC．6iD．7i6、设0.53x，3log2y，cos2z,则（）A．zyxB．zxyC．yzxD．xzy7、若函数()sincosfxaxx的相邻两个零点的距离为，且它的一条对称轴为32x，则()3f等于（）A．2B．3C．3D．28、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为（）A．30B．24C．18D．129、已知函数3()sin1(,,)fxaxbxcxabcR，(lg(lg3))3f，则3(lg(log10))f（）A．3B．1C．3D．201410、已知函数22,0()4cos1,0xxfxxxx,且方程()1fxmx在区间[2],内有两个不等的实根,则实数m的取值范围为（）A.[4,2]B.(4,3)C.(4,2){4}D.[2,4]二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）乙组甲组48x59210472y943233正视图左视图俯视图Gothedistance211、已知集合1{}Axyx，2{}Byyx，则AB12、若两个非零向量,ab满足abab，则向量a与b的夹角为13、在不等式组10200xyxyy所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为14、已知直线:lxy14360和直线:plx22，若抛物线:()Cypxp220上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2，则抛物线C的方程为15、给出定义：设()fx是函数()yfx的导数，()fx是函数()fx的导数，若方程()0fx有实数解0x,则称点00(,())xfx为函数()yfx的“拐点”.重庆武中高2015级某学霸经探究发现：任何一个一元三次函数32()fxaxbxcxd(0)a都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心.若3231()122fxxxx，则122014()()()201520152015fff三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，重庆市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如图所示（单位：min），回答下列问题．组别候车时间人数一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于10min的人数；(Ⅱ)若从表中的第三、四组中任选两人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．Gothedistance317、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若向量2(,)mbcabc，(,1)nbc，且0mn.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若3a，求ABC的面积的最大值.18、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）已知函数()sin()(0,0)fxx为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为24.(Ⅰ)求()fx的解析式；(Ⅱ)若2()sin3f，求2sin(2)141tan的值.19、（本小题满分12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）已知函数ln()fxxaxaR．（I）若1a时，求曲线yfx在点1x处的切线方程；（II）若0a，函数fx没有零点，求a的取值范围．Gothedistance420、（本小题满分12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）如图，正方形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AEAB，设,MN分别是,DEAB的中点，已知2AB，1AE（Ⅰ）求证：//MN平面BEC；（Ⅱ）求点E到平面BMC的距离．21、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为33，且经过点23(1,)3Q．若分别过椭圆的左、右焦点12,FF的动直线12,ll相交于点P，且与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率1234,,,kkkk满足1234kkkk．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在定点M、N，使得PMPN为定值？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，说明理由．ENMDCBAGothedistance5数学答案（文科）2014.9一、选择题：BACDAADBBC二、填空题：11.(0,)12.213.9214.yx2415.2014三、解答题：16、解：(Ⅰ)候车时间少于10min的概率为2681515，故候车时间少于10min的人数为8603215.(Ⅱ)将第三组乘客分别用字母,,,abcd表示，第四组乘客分别用字母,AB表示，则随机选取的2人所有可能如,,,,,,,,,,,,,,abacadaAaBbcbdbAbBcdcAcBdAdBAB，共有15种不同的情况，其中两人恰好来自不同组包含8种情况，故所求概率为815.17、解：（Ⅰ）因为0mn，所以22()0bcabc，即222.bcabc故2221cos.222bcabcAbcbc又(0,)A，所以2.3A（Ⅱ）由（Ⅰ）及3a，得223.bcbc又222bcbc（当且仅当bc时取等号），故32bcbc，即1.bc故1123sin1sin.2234ABCSbcA18、解：(Ⅰ)因为()sin()(0,0)fxx为偶函数，故2，从而()sin()cos2fxxx.再由()fx图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为24，知2T，从而2T，故1.所以()cosfxx.(Ⅱ)原式2sin2cos212sincos2sin2sincossincossin1coscos.由条件知2cossin3，平方得412sincos9，从而52sincos9.19、解：（I）'()(0)xafxxx，切点为(1,1)，/(1)0f，故切线方程为1y.（II）当0a时，()fxx在定义域(0,)上没有零点，满足题意；当0a时，函数()fx与'()fx在定义域上的情况如下表：x(0,)aa(,)a'()fx0+()fx↘极小值↗()fa是函数()fx的极小值，也是函数()fx的最小值，所以，当()(ln()1)0faaa，Gothedistance6即ea时，函数()fx没有零点.综上所述，当e0a时，()fx没有零点.20、解：(Ⅰ)证明：取EC中点F，连接,MFBF.由于MF为CDE的中位线，所以1//,2MFCDMFCD；又因为1//,2NBCDNBCD,所以//,NBMFNBMF所以四边形NBFM为平行四边形，故//MNBF，而BF平面BEC，MN平面BEC，所以//MN平面BEC；(Ⅱ)因为//MN平面BEC，所以：111123323EBMCMBECNBECCBENBENVVVVSCB因为,ABADABAE,所以AB平面EAD，故ABAM,从而：2222221521()()2222MBMAABDEAB因为//CDAB,所以CD平面EAD,故CDDM,从而：2222221521()()2222MCMDDCDEDC在BMC中，21,22MBMCBC,所以BMC的面积221112117()2122242BMCSBCMBBC所以1133EBMCBMCVSh（其中h表示点E到平面BMC的距离），即1171323h，解出21717h，所以点E到平面BMC的距离为21717.21、解：(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)xyabab，则22222331413caababc222321abc,故椭圆的方程为22132xy。(Ⅱ)当12ll或斜率不存在时，易知P点为(1,0)(-1,0)或；当12,ll斜率存在时，设斜率分别为12,mm，设1122(,),(,)AxyBxy，联立1222211122(1)(32)63602360ymxmxmxmxy，则2112212112216323632mxxmmxxm，故121212121112121211()(2)yyxxxxkkmmxxxxxx2111221124(2)22mmmmm。Gothedistance7同理2342242mkkm。因为1234kkkk，所以1222124422mmmm，即1221(2)()0mmmm。又12mm，故1220mm。设点(,)Pxy，则2011yyxx，即221(1)2yxx。由当12ll或斜率不存在时，P点为(1,0)(-1,0)或也满足在椭圆上。故存在定点Ｍ、Ｎ为(0,1)，使得点Ｐ满足PMPN为定值22。