电动力学计算题

第一章1.电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度．（共10分）解：由高斯定理ar时，024QErsdE204rQE（2分）写成矢量式得304rrQE（1分）ar时，球面所围电荷为33333343434aQraQrr（1分）30324aQrErsdE304arQE（2分）ar时，0r03rr（0r）（2分）0430rrQE（2分）2.电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。解：在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆，圆心在导线轴上。由对称性，在圆周各点的磁感应强度有相同数值，并沿圆周环绕方向。先求磁感强度：(1)当ra时，通过圆内的总电流为I，用安培环路定理得因此，可以得出(ra)式中eθ为圆周环绕方向单位矢量。(2)若ra,则通过圆内的总电流为应用安培环路定理得因而，得出(ra)IrBL02dlB0ˆ2IerB22222rIrrJIaaJS2202daIrrBLlB02ˆ2IreaB用柱坐标的公式求磁场的旋度：(1)当ra时由我们求出的B得出(ra)(2)当ra时，由上面的式子得(ra)3.有一内外半径分别为1r和2r的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷f，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。当1rr时，01D，01E。当21rrr时，frrDr)(34431322231323)(rrrDf，231323)(rrrEf，向量式为rE331323)(rrrf当2rr时，frrDr)(3443132322313233)(rrrDf20313233)(rrrEf向量式为rE30313233)(rrrf（2）当21rrr时，)()(202202DDEDPpf)1()1(020D当1rr时，0)1()()(12020212rrpDDDnPPn当2rr时，frrprrr22313202023)1()1(2DPn1ˆˆ()0rzBerBezrrB002ˆzIeaBJ4.内外半径分别为1r和2r的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流fJ，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当1rr时，由安培环路定理得：0,011BH当21rrr时，由环路定理得：)(22122rrJrHf所以rrrJHf2)(2122，fJrrrB2)(2122向量式为rJeBffrrrJrrr221221222)(ˆ2)(当2rr时，)(221223rrJrHf所以rrrJHf2)(21223，fJrrrB2)(212203向量式为rJeBffrrrJrrr2212202122032)(ˆ2)(（2）当21rrr时，磁化强度为rJHMfrrr22120202)()1()1(所以fMJHHMJ)1()1(])1[(02020在1rr处，磁化面电流密度为0d211lMrM在2rr处，磁化面电流密度为fMJrrrr222122022)()1(d210lM向量式为fMrrrJα22212202)()1(5.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l和2l，电容率为1和2，今在两板接上电动势为E的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度1f和2f；（2）介质分界面上的自由电荷面密度3f。(若介质是漏电的，电导率分别为1和2当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为1E和2E，电位移分别设为1D和2D，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为03f取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：11fD同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：22fD在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：21DD所以有111fE，212fE由于)(d22111221111lllllEfff所以21ffE)(2211ll当介质漏电时，重复上述步骤，可得：11fD，22fD，312fDD213fff介质1中电流密度111111111//fDEJ介质2中电流密度2312222222/)(/ffDEJ由于电流恒定，21JJ，2312111/)(/fff1121212211223)1()(fff再由E2211lElEdlE得E)(221111122112111lllfff221111/llfE211212llE)(312fff211221llE211212213llfE6.同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质(如图所示)。导线载有电流I，两导线间的电压为U。(1)忽略导线的电阻，计算介质中的能流S；(2)若内导线的电导率为σ，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。解：(1)以距对称轴为r的半径作一圆周(arb),应用安培环路定律,由对称性得因而导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的电荷(电荷线密度)为τ，应用高斯定理由对称性，可得，因而能流密度为式中ez为沿导线轴向单位矢量。两导线间的电压为:把S对两导线间圆环状截面积积分得：UI即为通常在电路问题中的传输功率表达式。可见这功率是在场中传输的。(2)设导线的电导率为σ，由欧姆定律,在导线内有由于电场切向分量是连续的,因此在紧贴内导线表面的介质内，电场除有径向分量Er外，还有切向分量Ez。因此,能流S除有沿z轴传输的分量Sz外,还有沿径向的分量−SrIrH2rIH2rrE2rEr2zzrerIeHEˆ4ˆ22HESbarEUbarln2dzebarUIˆ)/ln(2SUIrrbaUIrrSPbabad1)/ln(d2zeaIˆ2JE2aIEarz流进长度为Δl的导线内部的功率为7.根据算符的性质，推导下列公式AAAA(21)(2·A)解：由CABAC()(·CBB()·)A得)(AA21A(·)AA(·A)AA(212·A)8.由麦克斯韦方程组导出电流连续性方程。解：由麦氏方程DHJt上式两边求散度()DHJt（1）（1）左边0H且DDDtttt所以有J0t9.已知电容率为的均匀介质内部体自由电荷密度为f，求这种介质的体极化电荷密度p。解：PpEEPp)()(003222aIHESarzrRIalIlaSr2222ffpE)()()(0001第二章10.一个内半径和外半径分别维R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。解:第一步：分析题意，找出定解条件。根据题意，具有球对称性，电势不依赖于4极角和方位角，只与半径r有关，即)(),,(rr(3.38)故定解条件为.0.02122312RrRRr(3.39)边界条件导体接地有0121rRr(3.40)整个导体球壳为等势体，有3212RrRr(3.41)球壳带电量为Q，根据Gauss定理SQsdE0(3.42)得到0222123QdrrdrrRrRr(3.43)第二步，根据定解条件确定通解和待定常数。由方程(3.39)可看出，电势不依赖于，取n=0;不依赖于，取1)(cosnP，故得到导体球壳内、外空间的电势：QR1R2R3)21231RrRrDCRrrBA(3.44)由(3.40)式得.0,0.0,1211RDCRrAr当当(3.45)从而得到)11(121RrDrB(3.46)由(3.41)式得)11(123RRDRB(3.47)由(3.42)式得044QDB(3.48)即04QDB(3.49)将(3.49)式代入(3.48)式，即得)111(432130RRRRQD(3.50)令)111(32131RRRRQQ(3.51)因此得到011010104,444,0QDRQCQQBA(3.52)将A,B,C,D系数代入到(3.46)式，即得电势的解为)(44)(442101101230101RrRrQRQrDCRrrQrQrB(3.53)导体球上的感应电荷为1220102101022011114)11(4QdrrQdrRrQrdrrRrRrRr(3.54)11.到体内有一半径为R的球形空腔，腔内充满电容率为ε的均匀电解质，现将电荷量为q的点电荷放在腔内离球心为(Ra)处，已知导体电势为0，试求：腔内任一点的电势。解：假设球内有点电荷q可代替球面上感应电荷，由对称性q应放在oq的连线上。选择q的位置大小，使球面上的=0，满足唯一性定理，解唯一合法。考虑两个特殊点A，B（2分）A到q0Ra)(4)(400000RbqRaqA（2分）A到q0RbB到q0Ra)(4)(400000RbqRaqB（2分）B到qbR000RabRqq，00RaRbqq＋（2分）0000RaRbRabRaRb20qaRq0（2分）RbCosbRaqRRaCosaRqraqRrq22414122022000（1分）12.介电常数为的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场0E中，球外为真空。求电势分布。解:第一步，根据题意，找出定解条件。由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场0E方向，介质球的存在使空间分为两个均匀的区域——球内和球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势满足Laplace方程。以1代表球外区域的电势，2代表球内区域的电势，故