第八章FIR数字滤波器设计

数字信号处理(DigitalSignalProcessing)国家电工电子实验示范中心数字信号处理课程组第7章FIR数字滤波器设计7.1FIRDF设计的窗函数法7.2窗函数7.3FIRDF设计的频率抽样法7.4FIRDF设计的切比雪夫最佳一致逼近法7.5几种简单形式的滤波器7.6简单整系数滤波器7.7差分滤波器IIR数字滤波器：()()()HzBzAz有极点，也有零点，因此可以借用经典的连续滤波器的设计方法，且取得非常好的效果，如好的衰减特性，准确的边缘频率。由于FIR数字滤波器()()HzBz只有零点而没有极点，所以没办法借用连续滤波器的设计方法。其思路是：直接从频域出发，即以某种准则逼近理想的频率特性，且保证滤波器具有线性相位。7.1Fourier级数法（窗函数法）1.由理想的频率响应得到理的；()dhn2.由得到因果、有限长的单位抽样响应;()dhn()hn3.对加窗得到较好的频率响应。()hn理想频率响应()jdHe22cc1一、思路与方法：设理想低通滤波器的幅频为1，相频为零：1()()2jjnddhnHeed12ccjnedsin()cnn则：特点：无限长非因果偶对称解决方法：截短，移位保留()(2)dhnhnM,0,1,...,nM即：隐含着使用了窗函数0()()MnnHzhnz于是：注意：H(Z)是因果的，且是线性相位的，即()2M即事先给一线性相位2()jjMdHee为了省去每次的移位，可以令：在通带内2()0jMjdeHe0cc这样：21sin(2)()2(2)ccjMjncdnMhneednM()()dhnhn0,1,...nM于是：使用了矩形窗上式的的表达式及设计的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。实际上，给定一个，只要能积分得到，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR滤波器。()dhn()Hz()jdHe()Hz高通：2()0jMjdeHe0ccsin[(2)]sin[(2)]()(2)cdnMnMhnnM令：相当于用一个截止频率在处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在处的低通滤波器。c2()0jMjdeHelh其它sin[(2)]sin[(2)]()(2)hldnMnMhnnM令：相当于用一个截止频率在处的低通滤波器减去一个截止频率在处的低通滤波器。lh带通：2()0jMjdeHe,lh其它sin[()]sin[()]sin[()]222()(2)lhdMMMnnnhnnM令：()()(),0,1,...,dhnhnwnnM：窗函数，自然截短即是矩形窗。当然也可以用其它形式的窗函数。()wn相当于带阻：例1.设计低通FIRDF,令归一化截止频率＝0.125,M＝10，20，40，用矩形窗截短。结果如右图c接上例：M＝10分别用矩形窗和Hamming窗使用Hamming窗后，阻带衰减变好，但过渡带变宽。例：理想差分器及其设计()xt()yt()Hs()()dxtytdt()Hjj()Hss()xn()yn()Hz()(),()()sstnTtnTxnxtynyt令：理想差分器的频率特性：(),jHej理想微分器的频率特性：jeHjd)(奇对称，纯虚函数/2()(/2)()(1)(),0,1,,/2dnMhnhnMwnwnnMnM02/02/)(d理想相频特性11()(1)2jnndhnjedn第2类FIR滤波器02/2/02/2/)(MM实际相频特性有关各种差分器的性能，本章将继续讨论幅频：1矩形窗2哈明窗例：设计Hilbert变换器0()0jdjHej0:()2:dnevenhnnoddn00()[]2jnjndjhneded第2类FIR滤波器思考：能否用上一章的方法设计差分器和Hilbert变换器？优点：1.无稳定性问题；2.容易做到线性相位；3.可以设计各种特殊类型的滤波器；4.方法特别简单。缺点：1.不易控制边缘频率；2.幅频性能不理想；3.较长；()hn二、FIRDF设计的窗函数法的特点：改进：1.使用其它类型的窗函数；2.改进设计方法。三、关于对截短的讨论()dhn()()(),0,1,...,dhnhnwnnM()()()jjjdHeHeWe()()()jjdEHeHe误差曲线221()2MEEd误差能量22220011221()()()2()MMMnnnnnnnnnMaAEaAbBab110)sin()cos(2)(nnnnjdnbnaaeH011()cos()sin()2MMjnnnnAHeAnBn请自己导出此式什么情况下为最小2ME122)(MndMnhE00,1,2,,nnnnaAaAbBnM最小所以，有限项傅立叶级数是在最小平方意义上对原信号的逼近。傅立叶级数是正交变换，这也体现了正交变换的性质。1()()2jjnddhnHeed()(2)dhnhnM0,1,...,nM窗函数法1()()2jjnddhnHeed()()jjnddnHehne周期信号展开为傅里叶级数傅里叶系数傅里叶级数法同一事情不同名称7.2窗函数窗函数的使用在数字信号处理中是不可避免的。数据、频谱、自相关函数等都需要截短。对窗函数提出那几方面的要求？关键是要搞清楚使用窗函数后所产生的影响：一个域相乘，在另一个域是卷积。)()()(nwnxnxNdeWeXeXjjjN)()(21)()(10(1)/2()()sin()/sin()22NjjnnjNDedneNe矩形窗B04/BN2/NB2.边瓣最大峰值（dB）A3.边瓣谱峰衰减速度（dB/oct）D越小越好！越小越好！越大越好！对窗函数的技术要求：1.3dB带宽：主瓣归一化幅度降到－3dB时的带宽；或直接用。令则的单位为；B04/BN2/NB常用窗函数：1.矩形窗2.三角窗Bartlett窗0.89,13dB,6dB/octBAD3.汉宁窗Hanning4.汉明窗Hamming2/0,1,,/2()()/2,,1nNnNwnwNnnNN1.28,27dB,12dB/octBAD1.44,32dB,18dB/octBAD2()0.50.5cos(),0,1,,1nwnnNN2()0.540.46cos(),0,1,,1nwnnNN1.3,43dB,6dB/octBAD010203000.51boxcar-0.500.5-60-40-200010203000.51triang-0.500.5-100-500010203000.51hamming-0.500.5-100-500窗函数窗函数7.3FIRDF设计的频率抽样法1()()2jjnddhnHeed12ccjnedsin()cnn窗函数法：给定连续的理想的，用()jdHe()()(),0,1,...,dhnhnwnnM得到因果的、具有线性相位的FIRDF()Hz()jdHe()jHe逼近()jdHe()dHk离散化直接赋值12/01()()NjnkNdkhnHkeN计算更容易()dhn()hn思考：()jdHe()dHk相等？10()()NnnHzhnz滤波器已设计出可指定：1()0dforpassbandkHkforstopbandk如何指定()dHkcc()jdHe1N0k()dHk/21N转移函数、频率响应和给定的的关系：()dHk12/1011()()1NNdjkNkzHzHkNez10112/00()()1()NnnNNjnkNndnkHzhnzHkezN用DFT系数作为权函数来表示设计出的()Hz有何特点12/011()()1jNNjdjkNjkeHeHkNee1(1)/20()(,)NjNdkeHkSk(1)/sin[(2/)/2](,)sin[(2/)/2]jNkNNkNSkeNkN()jdHe()dHk原抽样N()jHe()Hk再抽样mN关系？()(),0,,1,0,,1dHlmkHklmNkN1(1)/20()()(,)NjjNdkHeeHkSk用插值的方法得到所要的滤波器：插值函数权重线性相位应为实数所以：(1)/()jNkNdHke如何指定()dHk为偶数：N(1)/(1)/0,1,,/21()0/2/21,,1jNkNdjNkNekNHkkNekNN为奇数：N(1)/()0,1,,1jNkNdHkekN其它赋值方法见书。当然，阻带内应指定为零。另外，为了得到好的幅频响应，在1和0之间加过渡点，如0.5。7.4用Chebyshev最佳一致逼近设计FIRDF7.4.1最佳一致逼近定理7.4.2利用最佳一致逼近理论设计FIRDF7.4.3关于误差函数的极值特性7.4.4FIRDF的四种表示形式7.4.5设计举例7.4.6滤波器阶次估计上述两种方法（窗函数法和频率抽样法）设计的FIRDF的频率响应都不理想，即通带不够平，阻带衰减不够大，过渡带过宽，频率边缘不能精确指定。因此我们要寻找新的设计方法。此方法即是Chebyshev最佳一致逼近法。该方法在数字信号处理中占有重要的定位，是设计FIRDF最理想的方法。但是，该方法的原理稍为复杂。给定理想的，设计，使是对的“最佳”逼近。()jdHe()Hz()jdHe()jHe1.最小平方逼近：2min[()()]bapxfxdx着眼积分区间内整体误差最小。傅立叶级数法即是这一种。()fx对函数f(x)逼近的方法：目标：nkxfxpkk,,1,0)()(2.插值法：寻找阶多项式，使其在个点上满足：n()px1n01,,,nxxx频率抽样方法)()()(xfxpxE3.最佳一致逼近：寻找，使误差()px[,]ab在区间[a,b]均匀一致，并使误差的极大值达到最小。Chebyshev最佳一致逼近理论解决了的存在性、唯一性及构造方法等问题。()px将最佳一致逼近理论应用于FIRDF的设计，是数学和信号处理理论相结合的又一典型范例。该方法可以设计出性能优良的FIRDF，是FIR设计的主要方法。该方法又称McClellan----Parks方法一、切比雪夫最佳一致逼近定理ˆmax()()min{max()()}axbaxbpxfxpxfx在阶多项式的集合中，寻找多项式使其相对其它所有的多项式对的偏差为最小：nˆ()px()px()fx最小最大原理交错点组原理：)()(maxxfxpEbxan)()()(xfxpxE令：误差最大值误差曲线是最佳一致逼近的充要条件是，在上至少存在个交错点()px()fx()Ex[,]ab122naxxxb2n使得：(),1,2,,2inExEin1()(),1,2,,2iiExExin