最佳基金使用计划

最佳基金使用计划摘要校基金会对未来十年存入银行和购国库券做投资计划，以求获得最大利益。做出合理的假设，建立线性优化模型，得到最佳基金使用计划。对于问题一，假设第一年初得到这笔基金，第二年一月一日再提取部分本息作为奖金额。由于活期和半年期的银行存款税后年利率相比较低，故将基金只分别存为一年、二年、三年、五年期。建立线性方程组模型，并就原题给出的数据，利用LINGO软件，得到每年的奖学金为109.82万元，以及这十年的存款策略。对于问题二，根据题目所给数据，同期的国库券的年利率高于银行存款的税后年利率，所以应首先考虑购买尽可能多的国库券。由于国库券的发行时间不定，若一味追求高回报，反而会增加活期存款所占的比重，所得最后收益不一定最高。故我们采用在合理地范围内，拨出部分资金用于存为半年期或活期，在发行时间购买国库券。即采用活期、半年期和国库券的组合投资方式。建立线性方程组，利用LINGO软件得到每年的奖学金为127.52万元，以及这十年的的投资方案。对于问题三，根据问题一和问题二的结果分析得出，问题三分做两种情况讨论：①只存款不够买国库券，则第三年的奖学金为129.06万元，其他每年的奖学金为107.55万元；②可存款不够国库券，则第三年的奖学金为149.82万元，其他每年的奖学金为124.85万元。最后，分析结果得出：这十年的投资计划是以五年为周期运作的。根据此规律能够建立更实用，更合理的投资线性优化方案。关键词：基金年利率线性规划最佳使用计划。一、问题重述校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库卷。这n年内当前银行存款及各期国库卷的利率不变，国库卷每年至少发行一次，发行时间不定。计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额，为获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。M5000万元，10n年。现有以下基金使用计划：1、只存款不购国库劵。2、可存款也可购国库劵。3、学校在基金到位后的第三年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其他年度多20%.根据不同的基金使用计划，分别制定最佳的基金使用计划。二、问题分析分析问题一：参照存款税后年利率数据表可知，定期存款年限越长，定期存款税后年利率越大。因此，在不影响奖金的发放情况下，应尽可能存放年限较长的定期存款，这样才能获得较高的利息，使得n年末仍保留原基金数额。基金最佳使用计划：①由于只需要在年末发放奖金，根据银行存款税后年利率，只选择一年、二年、三年和五年期的存款方式，不考虑活期及半年期。②每年年末回收的资金可以分作两部分使用：一部分用于发放该年的奖金，另一部分用于第二年的投资。每年依次进行下去，直到n年末，回收的资金除去发放该年的奖金而外，刚好等于n年前投资的基金总额。分析问题二：参照存款税后年利率和国库券年利率表可知，我们应尽可能优先购买国库券，三种国库券的年利率都很高，当发行时三种都应该购买。由于三种国库券的发行时间都不定，为使购买国库券的资金不闲置，故把这笔资金存为活期和半年期。基金最佳使用计划：资金的使用大致与模型I相同，故建立线性规划模型II。国库券发行不定，如果在该半年内发行了国库券,我们就将资金全部取出购买国库券,在国库券到期的那年将本息全部用于半年期存款,到期后转入活期存款；如果在该半年内没有发行国库券,我们将半年到期的自己全部用于活期存款,用于购买下半年一定会发行的国库券,国库券到期之后再全部转入活期存款。国库券两年期则将实际运作为三年，国库券三年期则实际运作为四年，国库券五年期则实际运作为六年。无论国库券什么时候发行，有半年是存为半年期，有半年是存为活期。分析问题三：根据问题一和问题二，问题三分别做以上两种情况讨论。均在第三年发放奖学金的时候比其他年度的奖学金多20%。三、符号说明M——表示基金总额A——表示每年的奖金额ijx——表示第i年初存入j年期的金额(1,2,,)inijy——表示第i年购买j年期的国库券的金额00r——表示活期的银行税后年利率0r——表示半年期的银行税后年利率jr——表示j年期的银行税后年利率jR——表示j年期的国库券年利率ip——表示j年期的“组合”国库券的最终年利率四、模型假设1、假设校基金会第一年基金总额全部到位。2、假设校基金会每年在年末发放奖金。3、假设每年内内当前银行存款及各期国库券的年利率均不变。4、假设每年都能按需买到足够的国库券，并且每年国库券均能发行二年期、三年期和五年期。5、假设每年发放的奖金额相同。五、模型建立与求解问题一：只存款不购买国库券。第i年的用于不同存款方式的总资金额：1234iiiiixxxxx(1)第i年时第(1)i年末可回收的资金除去奖金的资金：1(1),12(1),23(1),34(1),4(1)(12)(13)(15)iiiiiwrxrxrxrxA(2)建立线性规划模型I：目标函数：Amax1104121()1,1,2,,4..(1),1,2,,10,1,2,,4(10)0,0,1,2,,10,1,2,,4jjijiijjikjiijxMjxwstpxAwijMwxAij当M5000万元，10n年时，代入模型I，利用LINGO软件，编辑求解得：每年的最高奖金为A=109.82万元，每年的具体投资方案如表一。问题二：可存款也可够国库券国库券的收益为：=(1)(1+2)(12)收益本金年数国库券年利率半年期税后年利率活期税后年利率第i年的用于不同存款方式的总资金额与问题一的总资金额(1)式相同。第i年时第(1)i年末可回收的资金除去奖金的资金与问题一的(2)式相同。不同国库券的最终收益年利率：000(12)(12)(1)jjkrrpjRk目标函数：Amax1104121()100,1,2,,4(1),1,2,,10,1,2,,4..(10)0,0,1,2,,10,1,2,,4/101jjijiijjikjiiijiixMjxwpxAwijstMwxAijAAA当M5000万元，10n年时代入模型II，利用LINGO软件求解得：每年的最高奖金为A=127.52万元，每年的具体投资方案如下表：问题三：学校在基金到位后的第三年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其他年度多20%的投资方案分两种情况：1、只存款不购买国库券，利用模型I解得：第三年的奖金总额为A=129.06万元，其他年度每年的奖金总额为A=107.55万元，每年的具体投资方案如表三。2、可存款也可购买国库券，利用模型II解得：第三年的奖金总额为A=149.82万元，其他年度每年的奖金总额为A=124.85万元每年的具体投资方案如表四。六、结果分析及检验对于问题一：每年的奖学金的最高金额为A=109.82万元。如表一所示：前五年分别存一年、两年、三年和五年期的银行存款。后五年均不再进行投资。对于问题二：每年的奖学金的最高金额为A=127.52万元。如表二所示：前五年分别对不同的银行存款方式和国库券进行投资，后五年均不在进行投资。对于问题三：分别做两种情况做讨论。①只存款不购买国库券：第三年的奖金总额为A=129.06万元，其他年度每年的奖金总额为A=107.55万元。如表三所示：前五年分别存一年、两年、三年和五年期的银行存款。后五年均不再进行投资。②可存款也可购买国库券：第三年的奖金总额为A=149.82万元，其他年度每年的奖金总额为A=124.85万元。如表四所示：前五年分别对不同的银行存款方式和国库券进行投资，后五年均不在进行投资。经逐步验算及迭代，检验得出模型I与模型II是正确的，并且每种投资方案和最终收益均是合理的。七、模型评价模型优点：1、对于问题一，模型Ⅰ的建立不仅适用于只存款不购买国库券的情况,还适用于既存款又购买国库券的情况,但它要求每次国库券购买时间都在年初．2、对于问题二，模型Ⅱ的建立运用总体思维的方式将活期、半年期和国库券合起来看作一个整体进行投资,避免了考虑国库券的发行时间不确定这个因素,简化了模型的建立条件。3、模型的建立简单易懂，假设合理，为解决问题实用专业数学软件11.0Lingo编程得到了准确答案，使模型更易理解。模型缺点：1、在上述两种模型中,每年年末所回收的资金全部用来投资和发奖金,没有剩余。但在实际情况中,每年年末用来投资和发放奖金的可能要比每年回收的资金少。故我们在建立模型时，式子采用“=”符号是不准确的。2、模型II的建立是在国库券发行在年中得时候，不适用于某一次国库券购买时间在年初和年度中点的情况。八、模型改进模型改进：从题目已知，每年的奖学金大致相同，所以根据每年的投资收益，奖学金的金额不一定相同。故设每年的奖学金为iA,这十年总的奖金和为：101iiAA第i年时第(1)i年末可回收的资金除去奖金的资金：1(1),12(1),23(1),34(1),41()(1)(12)(13)(15)iiiiiwirxrxrxrxA目标函数：Amax11111212222131232333314124234341512523535545717273(1)(2)(1)(3)(1)(12)(4)(1)(12)(13)(5)(1)(12)(13)(6)(1)(12)(13)(15)..(7)xMxrxAxrxrxAxrxrxrxAxrxrxrxAxrxrxrxrxAstxxxwx8182839192(10)1(8)(9)(10)(11)0,0/100.0001ijiixxwxxwxwMwxAAAA国库券发行时间不定，故在模型II中，进行以下改进。关于年度中国库券实际发行有如下几种情况：1、上半年度中发行国库券,之前存活期,之后存半年期。最终收益利率为：00000(1)(12)(1)(1(6))iipmrrnRmr2.下半年度中发行国库券,之前存半年期,之后存活期。最终收益利率为：00000(1(6))(12)(1)(1(12))iipmrrnRmr3.刚好半年发行国库券,前后共存在二个半年期。最终收益利率为：20(12)(1)iiprnR八、参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型[M]，北京：高等教育出版社，2010；[2]Luobaixun，银行业务知识汇编，，2012.07.23；[3]谢金星，薛毅，优化建模LINDO/LINGO软件[M]，北京：清华大学出版社，2005；九、附录表一：只存款不购买国库券的投资方案i年1ix2ix3ix4ix1年396.7621200.4946195.6144207.1292年00195.61498.47283年00098.47284年00098.47285年00098.47286年0004581.9747年00008年00009年000010年000表二：可存款也可购买国库券的投资方案i年1ix2ix3ix4ix1iy2iy3iy1年346.0866227.5496222.0105004095.477108.87612年00000115.9194108.87613年000000108.87613年000000108.87614年000000108.87615年0000004377.83406年00000007年00000008年00000009年000000010年0000000表三：只存款不购买国库券的投资方案i年1ix2ix3ix4ix1年388.5804196.3602211.78174203.2782年001