36吴佩之-锁相环捕捉性能的计算和仿真

TechReportCourseProjectofCommunicationCircuitsbyProf.GuolinLi[CalculationandSimulationoftheTransientPerformanceofPhaseLockedLoop]PeizhiWuJinchaoYeYiXuDepartmentofElectronicEngineering,TsinghuaUniversity0.做这个Project的初衷...........................................................................................11.捕捉性能的总体概述............................................................................................11）快捕带的计算.................................................................................................12）同步带的计算.................................................................................................33）捕捉带的计算.................................................................................................33）数值例仿真.....................................................................................................42.二阶锁相环的捕捉时间........................................................................................71）采用有源比例积分滤波器的二阶锁相环的捕捉时间.................................72）一般二阶锁相环的捕捉时间.......................................................................113.对捕捉时间公式的仿真验证..............................................................................134.总结......................................................................................................................19附录：Matlab源代码................................................................................................20CONTENT作者：无79吴佩之2007010148无73叶琎超2007012230无73胥毅2007012180锁相环部分的内容是本课程的难点之一。学习了课程中有关锁相环的内容之后，我们对课件中提供的几个公式有了一些疑问，例如快捕带的计算公式、捕捉时间的计算公式。这些公式并未给出推导的过程，而且形式都非常简单，这便引起了我们的好奇。考虑到这几个式子都与锁相环的捕捉过程有着密切的联系，经过讨论，我们决定从锁相环的捕捉过程入手，逐步深入，定量地分析有关捕捉性能的几个参量。因此，在本Project中，将着重研究锁相环的频率捕捉过程，研究快捕带的计算，推导二阶锁相环较为精确的捕捉时间表达式，并通过仿真验证结果。在这次的Project中，叶琎超同学撰写了第1部分《捕捉性能的总体概述》，吴佩之同学撰写了第2部分《二阶锁相环的捕捉时间》和第3部分《对捕捉时间公式的仿真验证》，胥毅同学实现了用于二阶锁相环仿真的Matlab程序的编写和调试。我们各自完成自己的工作，最后将三人的工作合而为一，成为此报告。锁相环的对频率的捕捉能力主要由三个量来表征：快捕带、捕捉带、同步带。其中同步带表征的是其静态特性，快捕带、捕捉带表征是动态特性。在课件中，给出了这三个计算公式，但并没有完整地给出具体的推导过程。出于兴趣，在课外进行了以下推导，并进行了相应的仿真，观察到了仿真结果与理论预测的一致性。快捕带的计算：捕获过程中，如果相差的变化不超过2π那么称为快捕，使得相差变化不超过2π的最大起始频差，称为快捕带。通常PLL的工作频率范围限制在快捕带内。0做这个Project的初衷1捕捉性能的总体概述11Overview-theProcessofCapture假定PLL初始没有锁定，而且输入频率为ω1=ω0+Δω。则鉴相器产生的信号为：vd(t)=Kdsin(Δω∗t+Δθ)其中Δθ=θi0−θo0，为输入信号和压控振荡器输出信号的初始相差。因此环路滤波器输出的信号为：vp(t)=KdHF(jΔω)sin(Δω∗t+Δθ)所以压控振荡器的输出偏离本振频率为：ωo(t)−ωo0=KωKdHF(jΔω)sin(Δω∗t+Δθ)可以想象，要使频率朝着更为接近的方向靠拢，且要在一个周期内锁定，需要且只需要ωo(t)−ωo0在一个周期内会在某个时刻大于或等于Δω，这样一旦ωo(t)−ωo0=Δω就立即捕获，误差相位θe(t)将保持为恒定值。而ωo(t)−ωo0在一个周期内的最大值为KωKdHF(jΔω)=KpHF(jΔω)，这里假设了HF(jΔω)在一个周期内变化不大。因此快捕带Δω的条件为：KωKdHF(jΔω)≥Δω取等号时，得到快捕带ΔωL满足的等式KωKdHF(jΔωL)=ΔωL（1.1）其中HF(jΔωL)由环路滤波器来决定。a)对RC积分滤波器：HF(jΔωL)=�11+jΔωLτ�=1�1+(ΔωLτ)2因此，联立（1.1）式可得ΔωL=�−1+�1+4τ2KP22τ2≈�KPτ=ωn其中ωn是自然角频率。b)对无源比例积分滤波器：1Overview-theProcessofCapture2HF(jΔωL)=�1+jΔωLτ21+jΔωL(τ1+τ2)�≈τ2τ1+τ2因此联立（1.1）式可得ΔωL=KPτ2τ1+τ2=2ζωn其中ζ是阻尼系数。c)对理想积分滤波器：HF(jΔωL)=�1+jΔωLτ2jΔωLτ1�≈τ2τ1因此联立（1.1）式可得ΔωL=KPτ2τ1=2ζωn以上即对不同环路滤波器下的二阶PLL求出了快捕带的大小。鉴于老师在课上讨论过同步带的问题，为了完整性，此处仅简述一下这部分内容。同步带是PLL保持静态锁定的频率范围。也就是环路在锁定状态下，压控振荡器能够跟踪输入信号频率缓慢变化的最大范围。静态锁定时，频差为dθ1(t)dt−dθe(t)dt=ωi0−ωo0再联立PLL环路方程得：(考虑到静态时HF(p)=HF(0)=Av)ωi0−ωo0=KPHF(0)sinθe(t)≤KPAv即捕捉带的范围是KPAv=KdKωAv，相当于环路直流增益。记同步带为ΔωH，则ΔωH=KPAv=KdKωAv捕捉带的计算：环路起始处于失锁状态，如果起始频差在某一个范围内，则必可以最终进入锁定状态，如果超出这个范围，则环路不可能进入锁定状态，这个范围被称为是31Overview-theProcessofCapture捕捉带。鉴于捕捉带的严格理论推导很繁琐，而且查阅资料后，发现不同的资料由于简化的方法不同，得到的结论也有区别，因此在这里就不写出严格的表达式了。但是总得满足如下关系：记捕捉带为ΔωP，记同步带为ΔωH，记快捕带为ΔωL，必须有ΔωL≤ΔωP≤ΔωH数值例仿真：在仿真中采用的是理想的有源比例积分滤波器，而且我们知道二阶锁相环的捕捉带是无限大的。下面，采用ADIsimPLL3.0软件进行仿真。设置电路图如下所示：其中左边的芯片主要起鉴相器的作用。VCO的本振频率为100MHZ。a）输入信号由100MHz变为140MHz时，仿真结果如下：CE10DVdd15Gnd9CP2FinA6RefIn8NotesADF4001:1.VpistheChargePumppowersupply2.Vp=Vdd3.CEmustbeHIGHtooperate4.Consultmanufacturer'sdatasheetforfulldetailsMUXOUT14Gnd4Gnd9LE13Data12Clock11AVdd7Vp16ADF4001Gnd3FinB5Rset1Rset4.70kR2777C2198nFC1264nFR1100Vr-+VCO14.0MHz/VCt0FFoutV+GndReference100MHzSupply1Overview-theProcessofCapture4b）输入信号由100MHz变为105MHz时，仿真结果如下：00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0Time(ms)90100110120130140150160170Frequency(MHz)Frequency00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0Time(ms)-50-40-30-20-1001020304050PhaseError(deg)OutputPhaseError00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0Time(ms)100m1101001k10k100k1M10M100MAbsFrequencyError(Hz)|FreqError|51Overview-theProcessofCapture比较上述两个仿真结果，可以发现输入信号由100MHz变为140MHz时比输入信号由100MHz变为105MHz时要花更长的时间稳定下来，这是符合常理的，而且理想积分滤波器的捕捉带是无限大的。由于理想积分滤波器的在0频时的增益为无限大，因此可以发现稳态相差也是0。00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0Time(ms)99100101102103104105106107108109110Frequency(MHz)Frequency00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0Time(ms)-50-40-30-20-1001020304050PhaseError(deg)OutputPhaseError00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0Time(ms)100m1101001k10k100k1M10MAbsFrequencyError(Hz)|FreqError|1Overview-theProcessofCapture6老师在上课时给出了二阶锁相环捕捉时间的近似计算式：Tp≈∆ωi22ξωn3(∗)但是，课件上并没有给出这个式子的推导过程。当时笔者就对这个公式的导出过程非常好奇，于是决定尝试推导出这个式子。在推导的过程中，首先计算了具有有源比例积分滤波器的二阶锁相环的捕捉时间，然后将结果推广到一般形式的二阶锁相环。1.采用有源比例积分滤波器的二阶锁相环的捕捉时间理想有源比例积分滤波器的结构如下：其传递函数为HF(s)=R2+1sCR1=sCR2+1sCR1记τ1=CR1，τ2=CR2，则HF(s)=sτ2+1sτ1(2.1)鉴频器的相位关系为θ1(t)−θe(t)=θ2(t)=1s[Kdsinθe(t)∙HF(s)∙Kω]，为方便推导，记K=Kpτ2τ1，α=1τ2.2二阶锁相环的捕捉时间2CalculationofCaptureTime7得到环路方程：sθ