导数题型总结(12种题型)

导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.知零点个数求参数范围含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0处切线的斜率。二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)(3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0)②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=A.0B.1C.2D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax2+xb（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=6.（2012新课标全国）设点P在曲线y=21ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则▕PQ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+415x-9都相切，则a等于8.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为A.2B.827C.22D.19.已知点P在曲线y=14xe上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是10.已知函数f（x）=2x3-3x.（1）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围.11.已知函数f（x）=4x-x4，x∈R.(1)求f（x）的单调区间(2)设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）(3)若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2-x1≤-3a+431.导数专题二利用导数四则运算构造新函数一．知识点睛导数四则运算法则：[f(x)±g（x）]’=f′(x)±g′(x)[f(x)·g（x）]’=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)[)()(xgxf]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。方法一1：移项，对含有导数的不等式进行移项处理，使不等式右边归0（因为导数与0的大小决定函数单调性）2：观察，①若不等式左边是只含有f′(x)的式子，可以用和差函数求导法则构造②若不等式左边含有f′(x)和f(x)，并且中间是+，可以用积函数求导法则构造③若不等式左边含有f′(x)和f(x)，并且中间是-，可以用商函数求导法则构造方法二：根据题目所给出的抽象不等式，或者要比较大小的两个式子进行构造，在进行构造时要看结构，把抽象不等式两边或者要比较大小的式子结构相同化，根据相同结构构造以x为主元的新函数。三．常考题型：构造新函数解不等式或比较大小四．跟踪练习1.(2015广东调研)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R,f’（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（和差）2.(2016贵州遵义)设函数f’（x）是函数f（x）的导函数，对任意x∈R，有f（x）+f’（x）＞0，则x1＜x2时，结论正确的是（积）A:ex2f（x1）＞ex1f（x2）B:ex2f（x1）＜ex1f（x2）C:ex1f（x1）＞ex2f（x2）D:ex1f（x1）＜ex2f（x2）3.若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f’（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞xe3+1的解集为（积与差）4.若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf’（x）＞﹣f（x）恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（积）A:af（b）＞bf(a)B:af(a)＞b(b)C:af(a)＜bf(b)D:a(b)＜b(a)5.（2015济南）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f’（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf’（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（积）6.(2015新课标全国卷Ⅱ)设函数f’（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf’（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（商）A.(-∞，-1)∪（0,1）B.（-1,0）∪（1，+∞）C.(-∞，-1)∪（-1,0）D.（0,1）∪（1，+∞）7.设函数是R上的奇函数，且f（-1）=0，当x＞0时，（x2+1）f’（x）-2xf(x)＜0,则不等式f（x）＞0的解集为（商）8.已知定义在R上的函数f（x），满足3f（x）＞f’（x）恒成立，且f（1）=e3,则下列结论正确的是（商）A.f（0)=1B.f(0)＜1C.f(2)＜e6D.f(2)＞e69.已知定义在R上的奇函数f（x）满足2016f（-x）＜f’（x）恒成立，且f（1）=e-2016,则下列结论正确的是（商）A.f(2016)＜0B.f(2016)＜22016eC.f(2)＜0D。f（2）＞e-403210.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f’（x）满足xf’（x）+f（x）=xxln，且f（e）=e1，其中e为自然对数的底数，则不等式f（x）+e＞x+e1的解集是（）A.（0，e1）B.（0，e）C.（e1，e）D.（e1，+∞）11.已知函数F（x）=lnx（x＞1）的图像与G（x）的图像关于直线y=x对称，设函数f（x）的导函数f’（x）=xxfxxG)(34)(（x＞0），且f’（3）=0，则当x＞0时，f（x）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既无极大值，也无极小值D.既有极大值，也有极小值导数专题三利用导数研究函数单调性一．知识点睛1.函数的导数与单调性之间的联系：①一般地，设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果在这个区间内有f′(x)＞0，那么函数y=f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f′(x)＜0，那么函数y=f（x）为这个区间内的减函数。②反过来，如果可导函数y=f（x）在某个区间内单调递增，则在这个区间内f′(x)≥0恒成立；如单调递减，则在这个区间内f′(x)≤0恒成立2.利用导数研究函数的单调性步骤：1.求定义域2.求导3.令f′(x)＞0，解不等式得增区间；令f′(x)＜0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用，不能用∪连接。二．方法点拨1.已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间2.已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：①分离参数，转化为f′(x)≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨论3.已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的4个标准：①二次项系数的正负②f′(x)=0根的个数③f′(x)=0根的大小④f′(x)=0的根与给定区间的位置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根4.已知函数有n个单调区间，求参数范围，等同于方程f′(x)=0在此区间上有n-1个根，并且根不是重根。5.已知函数在给定区间上不单调f′(x)在此区间上有异号零点f′(x)=0有根（且根不是重根）6.已知函数在给定区间上有单调区间，等同于f′(x)＞0或f′(x)＜0在给定区间上有解常考题型：⑴利用导数研究已知函数的单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数有几个单调区间的问题三．跟踪练习1.已知函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1（k＞0）的单调减区间是（0,4），则k的值是.2.（2016全国卷Ⅰ）若函数f（x）=x-31sin2x+asinx在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是A.[-1，1]B.[-1，31]C.[-31，31]D.[-1，-31]3.(2015四川)如果函数f（x）=21（m-2）x2+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[21,2]上单调递减，那么mn的最大值为A.16B.18C.25D.2814.（2014新课标全国Ⅱ）若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是A.(-∞，-2]B.(-∞，-1]C.[2，+∞)D.[1，+∞]5.(2016全国卷⒈第一小题)已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，讨论函数f（x）的单调性.6.设函数f（x)=ax2+bx+k(k＞0)在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0.（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）若函数g（x）=)(xfxe，讨论g（x）的单调性.7.已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）（Ⅰ）若函数f（x）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值.（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1,1）上不单调，求a的取值范围.8.设a为实数，函数f（x）=ax3-ax2+（a2-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围.9.设f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这3个单调区间.10.已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f(x)+21x2-bx(1).求实数a的值(2).若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围(3).设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥27，求g（x1）-g（x2）的最小值导数专题四利用导数研究函数的极值和最值一．知识点睛1.可导函数的极值：①如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，我们就把a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.②如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，我们就把b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.注意：①.可导函数y=f（x）在点x0取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在点x0左侧和右侧，f′(x)异号②.导数为0的点不一定是极值点，比如y=x3即导数为0的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。③.若极值点处的导数存在，则一定为02.求可导函数极值的步骤：①.确定函数的定义域②求导f′(x)③求方程f′(x)=0的根④把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f′(x