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NationalProfessionalTeacherTeam97年度攜手計畫現職教師教材教法暨教學策略研習國小高年級數學科補救教學報告人：信德國小張煥泉NationalProfessionalTeacherTeam張煥泉小檔案•學歷：東山國小、信德國小、大成中學、新竹高中、花蓮師範學院-數理系、新竹教育大學-數學教育研究所•經歷：–信德國小教師、訓導組長、教導主任–苗栗縣數學領域輔導團員、苗栗縣數學領域輔導團員副召集人–教育部國民中小學數學領域教科書審定委員(第三階段90~92；第二階段90~96)–教育部中央課程與教學輔導諮詢教師(96~97)NationalProfessionalTeacherTeam概念構圖教學者學習者教學達成教學目標達成學習目標不會會追求理解的認知過程NationalProfessionalTeacherTeam解決一個數學問題的處理流程事實呈現什麼？經過了什麼過程？得到什麼結果？NationalProfessionalTeacherTeam認識您的授課對象與其特性•攜手計畫課後扶助的受輔學生•受輔學生的普遍特性1.先天未必不良2.後天失調3.學習意願低落4.注意力不集中5.記憶短暫6.理解能力差7.其他（特殊教育範疇……）NationalProfessionalTeacherTeam兒童學習數學的可能困難：•（一）語文能力缺陷使其在了解或表達數學常用詞彙、關鍵字及概念方面有困難；•（二）知覺能力缺陷使其在辨識或閱讀數字與數學符號、分類能力有困難；•（三）注意力缺陷使其在正確抄寫數字或數學符號與檢視運算細節時有困難；•（四）數學能力缺陷使其在依循計算步驟或推理方面有困難。NationalProfessionalTeacherTeam兒童面臨數學的可能困境：•（一）無法決定什麼問題需要解決；•（二）無法過濾不相關字句以掌握題目重點；•（三）無法整合題目中的訊息並決定解決方式；•（四）無法監控自己的解題歷程；•（五）無法覺察外在回饋並產生自我校正行為。NationalProfessionalTeacherTeam七項使學生不喜歡學數學的主因：•1.忽視個別差異，經年累月給予所有學生一樣的課堂要求及作業；•2.只強調數學方法，未強調教學方法的教學方式，數學課堂上多是一題解過一題，一頁做過一頁；•3.數學作業多為紙筆式，未能採用多元化的作業方式；•4.堅持學生須採用某種方法解題而忽略了其實數學可有多種解法；NationalProfessionalTeacherTeam•5.在學生犯錯時給予額外的數學作業以示懲罰；•6.採用訓練方式來教數學，學生往往面對同一類型題目時，須做非常多機械式的練習；•7.在缺乏適時回饋的情形下，要求學生將所有做錯的題目，訂正到直到正確為止。七項使學生不喜歡學數學的主因：NationalProfessionalTeacherTeam學生自己造成的學習障礙•學習態度不佳，敷衍了事、馬虎應付、練習是做給老師看的，作業是向父母交代用的。•只看表面線索而不深入探究內涵文義。例：甲有5元，甲比乙多3元，乙有多少元？•錯誤的類推和遺忘某些條件導致錯誤的過程例：7+8=8+7→2÷4=4÷2•不願用心思考，事事依賴注意力無法持續。NationalProfessionalTeacherTeam補救教學的策略•一、補救和輔導並重：•二、補足先備能力：•三、教材簡化、淺化：•四、熟練後推思考法和前推思考法：•五、用具體的圖線表徵有助於解答：•六、加強語文的閱讀能力，及發表能力：NationalProfessionalTeacherTeam◎議論〝分〞紛(善變的分數規則)•1+1=2的經驗→•好容不易建立出☆☆•可是到了分數乘法→•又不對了應該要☆☆•除法出現時→422211212121121212112121412211212111221121218.05.15/42/354235243NationalProfessionalTeacherTeam「分數工具論」vs「分數理解說」•未能對分數概念進行掌握，僅從計算規則、程序性的角度進行思考的後果，易導議論〝分〞紛。–規則變了又變，一再改變。–加、減、乘、除都不一樣。•基本功要紮實→進入工具–分數意義要先理解–運算概念要能掌握NationalProfessionalTeacherTeam誰對呢？1個披蕯平分給3個人，每人得到1/3個披蕯，此時用畫圖表徵的結果如下：中低年級老師認為1/3中的1是3塊披蕯中的1小塊。陳老師並不認同，他覺得1/3中的1是1個披蕯，因為1個披蕯平分給3個人是1÷3=1/3，那個1應該是指1整個披蕯，而不是1小塊披蕯。部分整體vs除的結果NationalProfessionalTeacherTeam師：何謂1/7？生：將一段平分為7份，取其中的1份。師：何謂2/7？生：將一段平分為7份，取其中的2份。「部分全體」Vs「單位分數累加」NationalProfessionalTeacherTeam1/7+1/7=()眾生：1/7+1/7=2/14NationalProfessionalTeacherTeam孩子的想法1/7是1/7+1/7是怎麼看就是2/14怎麼會等於＋NationalProfessionalTeacherTeam分數Vs比(用分數代表比到底是什麼意思？)布題：某位棒球選手，在與日本隊比賽時出場4次，擊出3支安打，他的打擊率為3/4。另一場與韓國比賽中，出場也是4次，擊出2支安打，這場打擊率為2/4。二場比賽總共的打擊率是多少？解：通常我們的作法為3/4+2/4=5/8。Q：為什麼此時我們不用分數的加法原理來算3/4+2/4=5/4。Q：學生是否會問為什麼又回到分子加分子，分母加分母？老師您要的到底是如何？NationalProfessionalTeacherTeam學生的「3/5」代表什麼？•5等分裡面的3等分→•部分整體概念•3個1/5→•單位分量的累加•數線上的一點→•抽象到整個3/5為一個數字，而非二個數字。•二數相除的結果→•例如3個餅分給5個人，每人得到多少個餅？•相當於比的問題→•某選手在比賽中擊出3支安打，總打擊數為5次，安打與總打數的比值3/5NationalProfessionalTeacherTeam分數概念發展脈絡之整理•『等分』的概念→平分的概念•『部分整體』→表示二數(或二量)的並置關係→分數初步概念，尚未開始運算•『單位分量累加』→開始運算(假分數才可以出現)•『數線上一點』→尚有具體量可以看到，還未完全到抽象的數概念，引用距離的概念。•『兩數相除』的結果→分數意義的擴充•相當於『比』的問題→用分數來表示比值的結果•『有理數』→等值分數是初步概念→分數的等價集(集合概念)NationalProfessionalTeacherTeam值得深思的幾個點？•老師們的補救教學如何進行？–依教學進度作深度練習(練熟)–在計算題上可能可以達成某種效果–但是文字題(應用問題)時，卻時常遇到瓶頸。•老師的資源和支援在哪裡？•鼓勵孩子主動去學習。–善用學生好發問的特性(讓學生當主角)–鼓勵學生多發表、並給予肯定–形成共識•概念發散&概念收斂&概念提昇&精熟學習(可善用ICR或Flash檔)NationalProfessionalTeacherTeam想和老師談談的幾個問題•語文能力vs解文字題•數學語言（符號）教學流程•整數乘、除法教材分析•國小常見問題舉隅•「單位量」和「單位數」的困擾？•「除法的困難」•『公分×公分=平方公分』•『時間』和『時刻』一樣嗎？NationalProfessionalTeacherTeam「單位量」和「單位數」的困擾？•一隻青蛙有4條腿，5隻青蛙共有幾條腿？•4×5=()和5×4=()一樣嗎？•學生若混淆『兩者，老師有何教學方法？•信德國小阿康老師的方法簡介：NationalProfessionalTeacherTeam學生對『除法』的可能困難：•四則運算中，除法的『唸法』和其他不一樣！•「除法」的直式長得怪怪的！•為何在算「除法」時要「估商」呢？•引入「除法」教學時(包含除)，直式算則時的境境解釋(等分除)！•「除法」為何要從「高階」處開始運算呢？•「餘數小於除數」的問題。例如：□÷4=1.1…0.6，求□=？NationalProfessionalTeacherTeam「公分」×「公分」？1.國小學生在「量與實測」的教材中，學習的量有哪些？2.「直觀比較、直接比較、間接比較、個別單位、普遍單位」和「公式化」等階段的不同！3.『公分×公分=平方公分』、『公分×公分×公分=立方公分』、『公克×公克=？？』NationalProfessionalTeacherTeam時間和時刻一樣嗎？•『時間』怎麼描述？『時刻』呢？•如何區分時間和時刻？•撥鐘的重要性！•「時刻+時間」的教學？NationalProfessionalTeacherTeam解文字題vs語文能力•學童不會算文字題，和語文能力有密切的關係嗎？•看不懂題意或文字，當然不會算，看懂題意或文字，一定就會算嗎？•大聲唸三次題目，對理解題意是否有幫助？NationalProfessionalTeacherTeam•看不懂題目的意思或不理解題意，是溝通的問題，不是數學的問題。•理解題意，但是不會算，這才是數學問題。•溝通問題與數學問題，是兩類不同的問題，不宜混為一談。NationalProfessionalTeacherTeam數學語言（符號）教學流程：數學課程分三階段引入數學語言（符號）•第一階段：引入數學符號之前•第二階段：引入數學符號•第三階段：引入數學符號以後NationalProfessionalTeacherTeam第一階段：引入數學符號之前•教學的重點是：–理解題意；–有成功解題的經驗；–逐漸形成解題活動類型。NationalProfessionalTeacherTeam第二階段：引入數學符號•教學的重點是：–形成解題活動類型；–掌握算式（摘要記錄）的意義；–掌握算式填充題（問題記錄）的意義。NationalProfessionalTeacherTeam第三階段：引入數學符號以後•教學的重點是：–提升解題效率；–引入算則；–精熟學習。NationalProfessionalTeacherTeam整數乘法教材分析•人們為什麼會發明乘法？•發明乘法對我們有那些幫助？•3個蘋果和5個蘋果合起來，共有幾個蘋果？(題意和解題工具分別是什麼？)NationalProfessionalTeacherTeam乘法問題知多少？-1/5•以問題「１盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？」為例，可以從哪些不同的角度來看問題？1、視為『加法問題』2、視為『倍的問題』3、視為『比的問題』4、視為『單位量轉換的問題』NationalProfessionalTeacherTeam１盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？•加法問題：「３＋３＋３＋３＝？」，使用加法當做解題的工具。NationalProfessionalTeacherTeam１盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？•倍的問題：–當相同數量相加的情境經常出現，為了提升解題效率，發展新的工具-『乘法』-來簡化或替代加法。•「３的４倍是多少個？」。NationalProfessionalTeacherTeam１盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？•比的問題：–將「每１盒都有3個蘋果」視為一個單位，使用『比』當做解題的工具。–「１：３＝４：□」。–３個／盒×４盒＝１２個。NationalProfessionalTeacherTeam１盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？•單位量轉換問題：–４『盒』蘋果有多少『個』？–「４個３合起來是多少個１？」NationalProfessionalTeacherTeam單位量轉換：•１２個蘋果「○○○○○○○○○○○○」是一種情境：•當人們選擇不同的單位量時，可以有不同描述個數的方式。(原單位是『個』