7.4--全微分及其应用

1§7.4全微分及其应用一.全微分的定义二.可微与连续、可偏导之间的关系三*.全微分在近似计算中的应用2小的变化,下面我们讨论一个具体的实例.二元函数在两个自变量都有微小变化时，函数改变量也有微x∆yxyy∆x∆x∆yy,则其面积为S=xy,是x和y的二1.全微分的定义例1如图所示的矩形长和宽为x和函数.若边长x和y分别取得微小改变量则面积S也相应有一个改变量,xy和()()Sxxyyxyxyyxxy一.全微分的定义3xyyx近似地表示.S22221,2xyxyxy由于则22(,)(0,0)lim0xyxyxy如是,面积的全增量S的表达式中包含两部分,第一部分xy0,xyxxy是xy和的线性函数，第二部分（当22()()xy较高阶的无穷小量,此时在0y时)是比x从而可用第一部分y和很小时，就可略去高阶无穷小量,xy4可表示为()zAxByo0000(,)(,)zfxxyyfxy定义7.4.1若函数在点000(,)Pxy(,)zfxy0()UP处的某邻域定义，如果函数在000(,)Pxy处的全增量内有S的全微分.类似于一元函数的微分,也称它为其中是只与点有关而与AB、x000(,)Pxy和y无关的常数,22()(),xy()o是当0时比更高阶的无穷小量,000(,)PxyAxBy则称函数(,)zfxy在点可微,并称为5若z=ƒ(x,y)在区域D上每一点都可微,则此时又称ƒ在区域D上可微.dzAxBy在点处的全微分,记作,即dz(,)xy函数(,)zfxy00(,)dddxyzAxBy或例2yzx求函数(2,1)0.1,x在点0.2y处当时的全增量与全微分.解10.210.11920.12yyyzxxx全增量由于(2,1)(2,1)21,4zyxx(2,1)(2,1)11,2zyx622()()0xy定理7.4.1若函数在点处可微,则函数00(,)xy(,)zfxy在处必连续.00(,)xy(,)zfxy证因为在点处可微，则当00(,)xy(,)zfxy二.可微与连续、可偏导之间的关系(2,1)(2,1)dzzzxyxy110.1(0.2)420.125则全微分为700limxyz00lim[(,)(,)]0xyfxxyyfxy00lim(,)(,)xyfxxyyfxy即从而可得0000d(,)(,)xyzfxyxfxyy时,也有()0.zAxByo则函数在处必连续.(,)xy(,)zfxy的偏导数必存在,且其全微分为在处00(,)xy定理7.4.2若函数在点处可微,则函数00(,)xy(,)zfxy(,)zfxy80(,)(,)limxfxxyfxyAx(,)xfxyA,0,x同理令证因为z=ƒ(x,y)在点(x0,y0)处可微,则对点(x0,y0)的某个(,).yfxyB可得0000(,)(,)xydzfxyxfxyy()zAxByo特别地，当时,即为0y(,)(,)()fxxyfxyAxox邻域内的任意一点00(,)xxyy均有9(,)(,)xyfxyxfxyy[(,)(,)]xyzfxyxfxyy是ρ的高阶无穷小.重要结论:函数z=ƒ(x,y)的各偏导数存在,仅是全微分存在的2222220()00xyxyxyfx,yxy，，(0,0)0(0,0)0();xyff的偏导数，都存在注3对于二元函数z=ƒ(x,y),若它的偏导数都存在,也不一定是ƒ(x,y)的全微分.因此时并不能保证必要条件,而非充分条件.比如100[(0,0)(0,0)]limxyzfxfy实际上0(,)(0,0)(0,0)(0,0)limxyfxyffxfy220limxyxy22360lim(1)xykxkxkx02230lim()xyxyxy0[(,)(,)]xyzfxyxfxyy即不是ρ的高阶无穷小.(,)(0,0).fxy但可验证在点处不可微22330lim(1)xykxkxkx11以下定理为全微分存在的充分条件：zzxy与定理7.4.3若函数z=ƒ(x,y)的偏导数在点(x,y)d(,)d(,)dxyzfxyxfxyyddd.zzzxyxy或处可微,且(,)xy[(,)(,)][(,)(,)]fxxyyfxyyfxyyfxy证因为(,)(,)zfxxyyfxy为一元函数之差.而两个偏导数在(x,y)的某个邻域内存在,故注意两个括号中,前者未变;后者x未变;因而皆可视yy的某个邻域内存在且在点(x,y)处连续,则函数(,)zfxy在点1212(,)(,)xyzfxxyyxfxyyy1201,01.其中而两个偏导数在(x,y)的某个邻域内10(,)(,),lim0xxfxxyyfxy其中(,)(,)xyzfxyxfxyyxy10lim(,)(,)xxfxxyyfxy20lim(,)(,)yyfxyyfxy0xy而xy可由拉格朗日中值定理,得连续，则2(,)(,)yyfxyyfxy，00lim.其中13().xyod(,)(,)xyzfxyxfxyy0lim0xy所以ddzzxyxy全微分等于它的两个偏微分之和，即(,)dxfxyx(,)dyfxyy称为.ydzxydzdzdz注4在上式中称为z对x的偏微分,并记为z对y的偏微分,并记为故函数在点处可微，且(,)xy(,)zfxy而,则函数的全微分为d,dxxyy(,)zfxyd(,)d(,)dxyzfxyxfxyy;xdz从而二元函数的14注5此定理并未说明“函数z=ƒ(x,y)的偏导数在点(x,y)处(0,0)在处可微，.但偏导数却不连续不连续,就一定有函数z=ƒ(x,y)在(x,y)处不可微”.222222221()sin,0()0,0xyxyfx,yxyxy函数(0,0)xf0(,0)(0,0)lim00xfxfx(0,0)0.yf同理例解0[(0,0)(0,0)]limxyffxfy而1522222201()sin()lim()xyxyxy01limsin0则函数ƒ(x,y)在(0,0)处可微.22222211()2sincosxxfx,yxxyxyxy220(00)0xxyf,而当时，00lim();xxyfx,y不存在()(0,0);xfx,y则在点处不连续220xy但当时，()(0,0).yfx,y同理在点处不连续161,yzyxx1(ln)2yzxxyydddzzzxyxy例3解11d(ln)d2yyyxxxxyy例4因为则1(2dlnd)2yxyxxxyyyzx求函数的全微分.求函数求函数2sinarctan2yzuxy的全微分.17三*.全微分在近似计算中的应用解因为221cos,22uyzyyz2,uxx22,uyzyz22221d2d(cos)dd22yzyuxxyzyzyz所以注：二元函数的全微分可推广到n元函数.(,)zfxy由全微分的定义可知,若函数00(,)xy在点处可微,都很小时，y();zdzo和并且当改变量x故可用全微有dz近似表示函数的全改变量分,z即0000(,)(,)dzfxxyyfxyz1800000000(,)(,)(,)(,)xxfxxyyfxyfxyxfxyy0000(,)(,)xxfxyxfxyy(,)(,)xyfxyxfxyyzdz由此,就可得到两个近似计算公式：和或(,)(,)xyfxyxfxyy(,)(,)fxxyyfxy例5求33(1.02)(1.97)的近似值.解33(,),fxyxy设则该问题等价于求1933(1.02,1.97)(1.02)(1.97)f的近似值.22(1,2)33333311(1,2),22212xxfxy取001,2,0.02,0.03,xyxy因为33(1,2)(1,2)3fxy22(1,2)3333332(1,2)22212yyfxy130.012(0.03)2.945233(1.02,1.97)(1.02)(1.97)f故(1,2)(1,2)(1,2)xyffxfy20故可取x=1,∆x=0.01,y=2,∆y=0.02.2.02(1.01)(1,2)(1,2)(1,2)1.02xyffxfy2.02(1.01).计算的近似值练习解1(,),yxfxyyx(,)ln,yyfxyxx(1,2)2,xf(1,2)0,yf且(1,2)1,f1.01,2.02xy的函数值.20.02(1.01,2.02)(10.01)f的近似值.().yfx,yx设函数则该问题等价于求此函数在即求因21例某厂生产甲、乙两种产品,当甲的产量为x公斤,乙的产4106100(,)()元Cxyxxyy假设现在月产量为甲900公斤,乙400公斤,试求此时当甲的产解此题是求全增量∆C,下面用微分求其近似值.2553,xyyxCCxxyxyy量为y公斤时,总成本为量增加1%,乙的产量减少2%,总成本将如何变化？可取x=900,∆x=900∙1%=9,y=400,∆y=−400∙2%=−8.(400,900)(400,900)30.6.xyCxCyCdC则因22Q代表产量,L代表劳动投入量,K代表资本投入量,则长期生产QQdQdLdKLK其中，QLQdLL为由于增加劳动投入而增加的产量；QK为资本的边际产量；QdKK为由于增加资本投入而增加的产量.为劳动的边际产量；注6全微分在经济管理理论中有许多应用.如在生产活动中,函数为Q=ƒ(L,K);其全微分关系式为