自动控制原理电子教案ch4

第4章根轨迹法第4章根轨迹法主要内容根轨迹的基本概念根轨迹的绘制法则用根轨迹法分析系统的暂态特性小结第4章根轨迹法学习重点了解根轨迹的基本特性和相关概念；了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则；掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能。根轨迹意义概述线性定常系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以，控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法，设计时可以每调整一次增益求解一次特征方程。W.R.伊文思提出了根轨迹法。它不直接求解特征方程，而是用图解法来确定系统的闭环特征根。根轨迹意义概述利用根轨迹法，可以：分析系统的性能确定系统的结构和参数校正装置的综合[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。根轨迹定义例：如图所示二阶系统，)15.0(ssK)(sR)(sC-特征方程为：0222Kss闭环传递函数：KssKs222)(2系统开环传递函数为：)15.0()(ssKsGkKs2112,1特征根为：4.1根轨迹的基本概念201j1j1根轨迹定义Ks2112,1特征根为：[讨论]：①当K=0时，s1=0,s2=-2,是开环传递函数的极点②当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6③当K=0.5时，s1=-1,s2=-1④当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j⑤当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j0K0K1K5K根轨迹基本概念对于一般的反馈控制系统，系统的结构图如下：)(sR)(sC-)(sG)(sH闭环传递函数为：)()(1)()(sHsGsGs开环传递函数为：)()()(sHsGsGk根轨迹基本概念的极点，闭环特征方程的根。的点就是闭环系统满足：1)()(11×njjmiigpszsk1)(ksG闭环特征方程：0)(1sGk将写成以下标准型，得：)(sGknjjmiigkpszsksG11)()()(或传递系数，或称为根轨迹增益gk为根轨迹方程。或：称1)()(1)(11njjmiigkpszsksG...2,1,0,)12()()(1|)(||)(|1)(|)(|)(1111±×kkpszspszsksGsGsGnjjmiinjjmiigkkkp或是复数，上式可写成：由于幅值条件辐角条件满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根。根轨迹的幅值和辐角条件为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记：绘制根轨迹----依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的辐角条件，画出的是闭环极点的轨迹。（1）求出和时的特征根gK04.2根轨迹的绘制法则gK0gK我们先以根轨迹增益（当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。gk（2）根据绘制法则大致画出时的根轨迹草图（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制绘制根轨迹的一般步骤：绘制根轨迹图的方法手工画概略图（草图）手工图解加计算画准确图计算机绘制精确图4.2.1绘制根轨迹的一般法则1．起点时，闭环系统的特征根由下式决定上式即为开环系统的特征方程式。所以时，闭环极点也就是开环极点。0)(gKnjjpssD10)()(1)()(11jnjmiigpszsK根轨迹方程为：0gK0gK根轨迹的绘制法则4.2根轨迹的绘制法则2.终点时，闭环系统的特征根由下式决定上式表明，当时，闭环极点也就是开环有限零点。)(gKgK0)()(1imizssNgKgKgjnjmiiKpszs1)()(11根轨迹方程为：今设N(s)为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着，它们都趋向无限远（无限零点）。4.2根轨迹的绘制法则3.根轨迹分支数和它的对称性根轨迹分支数与开环极点数相同，也与闭环特征方程根的数目一致。闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴。gjnjmiiKpszs1)()(11根轨迹方程为：4．实轴上的根轨迹×2p×3p×1p×4p1z3z2z▽0s230403p2p1p1j实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，其中任一段右侧，如果开环零、极点数目的总和为奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。4.2根轨迹的绘制法则证明：设为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，由辐角条件整理得11(12)mnijzpijNNpppzNpN为奇数pzppppzpppzNNNNNNNNNNN)](21[)](21[)](21[2)21(2pppppppppp4.2根轨迹的绘制法则例如下图所示，对于A，对根B，对根C，1zpNN3zpNN5zpNN)0,1(zpNNjABC4.2根轨迹的绘制法则5．分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。ab4.2根轨迹的绘制法则()1()10()[1()]()()0KgKgNsWsKDsWsKNsDs0)()(')()('sDsNsNsD分离点（会合点）的坐标由下列方程所决定ds整理得4.2根轨迹的绘制法则说明：用分离点方程式求解后，需将所求结果代入特征方程式中验算。只有当与之对应的值为正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。gK如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。4.2根轨迹的绘制法则4.2根轨迹的绘制法则6．根轨迹的渐近线——研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。当nm时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线，由与实轴的夹角和交点来确定。4.2根轨迹的绘制法则),2,1,0()21(180mno无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为，即ji1118012mnijijmn独立的渐近线只有（n-m）条（1）渐近线的倾角代入辐角条件得即渐近线的倾角为4.2根轨迹的绘制法则gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111111111()nmnmkgnmnmjijisKspzs当时，，即得ksskjipz（2）渐近线的交点k由幅值条件4.2根轨迹的绘制法则令上式中等式两边的项系数相等，即得渐近线的交点mnzpmiinjjk11由于和是实数或共轭复数，故必为实数，因此渐近线交点总在实轴上。jpizk4.2根轨迹的绘制法则例4-3设开环传递函数为)4)(1()(sssKsWgK180(12)180(12)60,60,18030ooooonm试确定其根轨迹渐近线。解（1）计算渐近线倾角。因为m=0,n=3,所以可得渐近线倾角为4.2根轨迹的绘制法则111405303nmjijikpznm因为n=3,m=0；所以渐近线交点为0120,1,4;ppp（2）计算渐近线交点。k4.2根轨迹的绘制法则7．根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角。入射角：根轨迹某个开环零点的切线与实轴的夹角。scsr4.2根轨迹的绘制法则111180nmoscjiji111180nmosrjiji入射角的计算公式为计算出射角的公式为开环有限零点到被测起点的矢量辐角除被测起点以外，所有开环极点到该点的矢量辐角开环极点到被测终点矢量的辐角除被测终点以外，所有开环有限零点到该点矢量的辐角4.2根轨迹的绘制法则8．根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根，此时系统处于临界稳定状态，令此时的。由此可计算对应的临界放大系数值。确定交点的方法：（1）把代入特征方程式；（2）利用劳斯判据。sjlKglKKsj4.2根轨迹的绘制法则例4-5设有开环传递函数为试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。2()(1)(0.51)(1)(2)KKKKKWsssssss32()3220KFssssK假设时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中sjKlKK解方法（1）根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为4.2根轨迹的绘制法则则得亦即解得：，，对应根轨迹的起点；，，对应根轨迹与虚轴相交。交点处的（临界放大系数）为0KK3KK00)2(32)(32jKjFl2323020lK23lK4.2根轨迹的绘制法则方法（2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数3213s2s2KK1s223KK0s2KK32()3220KFssssK劳斯表特征方程劳斯表中某一行元素为零，则表示在复平面内存在一些大小相等符号相反的实跟或共轭虚根。大小相等符号相反的实跟或共轭虚根可由辅助方程求出。辅助方程的阶数总是偶数，并且等于符号相反的实跟或共轭虚根的个数。3213s2s2KK1s223KK0s2KK4.2根轨迹的绘制法则在第一列中，令行等于零，则得临界放大系数根轨迹与虚轴的交点可根据行的辅助方程求得，即令上式中，即得根轨迹与虚轴的交点为3KK2sj2s2320KsK3KlKK1s4.2根轨迹的绘制法则9．根轨迹的走向如果特征方程的阶次，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。说明：把特征方程式改为是一个常数，它是各特征根之和。这表明，随着值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。2mn1111()0nnnkjnjWssRsasanjjRa11gK4.2根轨迹的绘制法则根轨迹绘制法则归纳如下：（1）起点（）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。（2）终点（）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括m个有限零点和（n-m）个无限零点）。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目与开环极点数相同，根轨迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。0gKgK4.2根轨迹的绘制法则（5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程0)()(')()('sDsNsNsD（6）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角),2,1,0()21(180mno渐近线交点mnzpmiinjjk114.2根轨迹的绘制法则（9）根轨迹走向。如果特征方程的阶次，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。2mn（8）根轨迹与虚轴交点。把代入特征方程式，即可解出交点处的临界值和交点坐标。sjgK入射角njmiijosr111180111180njmiijosc出射角（7）根轨迹的出射角与入射角。根轨迹的概略图主要根据（1）、（2）、（3）、（4）、（8）规则4.2根轨迹的绘制法则4.2.2自动控制系统的根轨迹1.二阶系统设二阶