第二章---姿态运动学与动力学

第二章第二章姿姿态运动学与动力学态运动学与动力学姿态控制器干扰力矩期望姿态ω执行机构转动动力学姿态运动学速率陀螺姿态敏感器姿态确定算法θuτ姿态动力学++姿态估计e第二章第二章姿姿态运动学与动力学态运动学与动力学§2.1常用坐标系§2.2姿态描述§2.3姿态运动学§2.4姿态动力学§2.5环境干扰力矩2.1.1惯性坐标系OXYZ2.1.2质心平动坐标系oXYZ2.1.3轨道坐标系oxoyozo2.1.4本体坐标系oxbybzb2.1.5航天器本体自旋坐标系oxryrzr2.1.6地心-太阳坐标系oxpypzp2.1.7太阳-黄道坐标系oxsyszs§§2.12.1常用坐标系常用坐标系‡相对于恒星固定的坐标系‡满足精度要求的基准坐标系‡地心赤道惯性坐标系‡O为原点(地心)‡OZ轴指向北极‡OX轴指向春分点‡OY与OX、OZ组成右手正交系‡日心惯性坐标系(黄道或赤道面)Z北极XYO春分点2.1.12.1.1惯性坐标系惯性坐标系OXYZOXYZ日心惯性坐标系日心惯性坐标系‡日心黄道惯性坐标系z黄道面为坐标平面；z原点为日心；zXs轴指向zYs轴zZs轴XsZsYsOs太阳春分点方向‡日心赤道惯性坐标系z赤道面为坐标平面，原点为日心；zX轴在赤道面内指向春分点；zZ轴垂直于天赤道平面，与地球自旋轴平行。‡把惯性系平移到航天器的质心o上；‡原点为o；‡坐标轴与地心赤道惯性坐标系的坐标轴平行。XYZo2.1.22.1.2质心平动坐标系质心平动坐标系oXYZoXYZ‡卫星轨道平面为坐标平面；‡坐标原点为卫星质心o；‡ozo轴指向地心(当地垂线)；‡oxo轴在轨道平面内与ozo轴垂直，并指向卫星速度方向(oxo轴沿当地水平面与轨道平面的交线，并指向卫星前进方向)；‡oyo轴垂直于轨道平面，并与oxo、ozo构成右手正交坐标系。‡特点：oyo轴在空间指向不变，而其它轴以轨道速度旋转。xoyozoo滚动俯仰偏航对地定向的三轴稳定卫星2.1.32.1.3轨道坐标系轨道坐标系oxoxooyyoozzoo2.1.42.1.4本体坐标系本体坐标系oxoxbbyybbzzbb‡坐标原点为质心o，oxb、oyb、ozb轴固连在航天器本体上；‡若三轴为航天器惯量主轴，则称为主轴坐标系；‡对于对地定向的三轴稳定卫星，oxb、oyb、ozb也称为滚动、俯仰、偏航轴。2.1.52.1.5航天器本体自旋坐标系航天器本体自旋坐标系oxoxrryyrrzzrr‡坐标原点为质心o；‡ozr轴指向自旋轴方向；‡oyr轴指向航天器内某特征点；‡oxr轴与oyr、ozr构成右手正交坐标系。‡应用于自旋卫星‡航天器-地球-太阳平面为坐标平面‡zp轴指向地心‡xp轴在坐标平面内与zp轴垂直并指向太阳方向‡yp轴与xp、zp构成右手正交坐标系‡地球导航卫星的姿态参考系xpypzpo太阳2.1.62.1.6地心地心--太阳坐标系太阳坐标系oxoxppyyppzzpp‡太阳黄道平面为坐标平面‡xs轴指向太阳圆盘中心‡zs轴指向黄极‡ys轴与xs、zs右手正交‡三轴稳定的科学卫星xsyszso赤道黄道SPNCϒ2.1.72.1.7太阳太阳--黄道坐标系黄道坐标系oxoxssyysszzss2.2.1姿态描述初步2.2.2方向余弦式姿态描述2.2.3Euler轴/角式姿态描述2.2.4Euler角式姿态描述2.2.5Euler四元素式姿态描述2.2.6Rodrigues参数式姿态描述§§2.22.2姿态描述姿态描述‡表征绕质心旋转运动的参量‡用固连的体坐标系Fb相对某参考系Fa的方位或指向描述‡把Fb相对Fa的方位描述出来‡姿态参数z方向余弦zEuler轴/角zEuler角z四元素zRodrigues参数xayazaxbybzboboaFaFb2.2.12.2.1姿态描述初步姿态描述初步‡如何描述两个坐标系的相对方位？‡用方向余弦描述Fb相对Fa的方位‡方向余弦阵(姿态矩阵)的引入‡方向余弦阵的性质及特点2.2.22.2.2方向余弦式姿态描述方向余弦式姿态描述用方向余弦描述用方向余弦描述FFbb相对相对FFaa的方位的方位‡坐标轴单位矢量zFa={xa,ya,za}zFb={xb,yb,zb}‡方向余弦zxa⋅xb=Axxxa⋅yb=Axyxa⋅zb=Axzzya⋅xb=Ayxya⋅yb=Ayyya⋅zb=Ayzzza⋅xb=Azxza⋅yb=Azyza⋅zb=Azz‡坐标轴的相对关系zxa=Axxxb+Axyyb+Axzzbzya=Ayxxb+Ayyyb+Ayzzbzza=Azxxb+Azyyb+AzzzbxayazaxbybzboboaFaFb‡将两个坐标系坐标轴之间的关系写成紧凑形式方向余弦阵方向余弦阵((姿态矩阵姿态矩阵))的引入的引入baAFF=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzzyzxyzyyyxxzxyxxAAAAAAAAAA‡A被称为方向余弦阵或姿态矩阵‡方向余弦阵只有三个独立参数zxa⋅xa=1,ya⋅ya=1,za⋅za=1zxa⋅ya=0,xa⋅za=0,ya⋅za=0‡方向余弦阵是正交矩阵AAT=E‡方向余弦阵的行列式为1|A|=1‡方向余弦阵可作为坐标变换矩阵Va=AVb‡相继姿态运动的方向余弦阵具有中间脚标的吸收性质zFa=CabFb,Fb=CbcFc,Fa=CacFczCac=CabCbc‡缺点：不直观，缺乏明显的几何图象概念，使用不方便方向余弦阵的性质及特点方向余弦阵的性质及特点‡用Euler轴/角描述姿态的理论依据‡Euler轴/角的形式及性质‡Euler轴/角与方向余弦阵的转换‡主旋转矩阵2.2.3Euler2.2.3Euler轴轴//角式姿态描述角式姿态描述‡Euler定理z刚体绕固定点的任一位移，可由绕通过此点的某一轴转过一个角度得到。‡正交矩阵的性质z一个常实正交矩阵A，至少有一个特征值为1的特征矢量e，使得Ae=e。‡姿态描述z可用转轴e和绕此轴的转角φ来描述两个坐标系间的相对姿态。`oxayazaxbybzbeφ用用EulerEuler轴轴//角描述姿态的理论依据角描述姿态的理论依据‡形式z转轴e在参考坐标系中的三个方向余弦(ex,ey,ez)z转角φ‡优点z具有明确的几何意义，直观，易于理解；z是四元素、Rodrigues参数等其它姿态描述方法的基础。‡缺点z仍具有一个约束条件，不是姿态描述的最小实现；z与姿态之间不是一一对应的。EulerEuler轴轴//角的形式及特点角的形式及特点‡Euler轴/角→姿态矩阵A=cosφ·E3×3+(1-cosφ)eeT-sinφ·eׇ姿态矩阵→Euler轴/角12sinyzzyzxxzxyyxAAeAAAAφ⎛⎞−⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠假定sinφ≠0()1cos12trAφ=−EulerEuler轴轴//角与方向余弦阵的转换角与方向余弦阵的转换‡绕x轴旋转角度φ1000cossin0sincosxAφφφφ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠cos0sin010sin0cosyAφφφφ−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠cossin0sincos0001zAφφφφ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠主旋转矩阵主旋转矩阵‡绕z轴旋转角度φ‡绕y轴旋转角度φ2.2.4.1Euler角基本理论依据2.2.4.2Euler角的种类2.2.4.33-1-3Euler角2.2.4.43-1-2Euler角2.2.4.5Euler角的特点2.2.4.6Euler角与其它姿态参数的转换2.2.4Euler2.2.4Euler角式姿态描述角式姿态描述‡出发点z希望三个姿态参数具有简便、明显的几何意义，并能用姿态敏感器直接测量，且可方便求解动力学方程‡理论依据(Euler定理)z刚体绕固定点的位移，可是绕该点的若干次有限运动的合成‡Euler转动z将参考坐标系转动三次得到本体系z每次的旋转轴是被旋转坐标系的某一坐标轴z每次的旋转角为Euler角z姿态矩阵为三次坐标转换矩阵的乘积2.2.4.1Euler2.2.4.1Euler角基本理论依据角基本理论依据‡姿态矩阵还与三次转动的顺序有关‡第一类z第一次和第三次转动是绕同类坐标轴进行的，第二次转动是绕另两类坐标轴中的一轴进行的；z3-1-3,2-1-2,1-2-1,3-2-3,2-3-2,1-3-1‡第二类z每次转动是绕不同类别的坐标轴进行的；z1-2-3,1-3-2,2-3-1,2-1-3,3-1-2,3-2-1‡常用Euler角z3-1-3ψ,θ,ϕ自旋卫星z3-1-2ψ,ϕ,θ三轴稳定卫星2.2.4.2Euler2.2.4.2Euler角的种类角的种类XYZ313(,,)()()()coscossincossincossinsincoscossinsinsincoscoscossinsincoscoscoscoscossinsinsinsincoscoszxzARRRψθϕϕθϕϕψϕθψϕψϕθψϕθϕψϕθψϕψϕθψϕθθψθψθ=−+⎛⎞⎜⎟=−−−+⎜⎟⎜⎟−⎝⎠2.2.4.332.2.4.33--11--3Euler3Euler角角‡绕oZ轴旋转(3),Rz(ψ)‡绕oX'轴旋转(1),Rx(θ)‡绕oZ轴旋转(3),Rz(ϕ)XYZX′Y′ψψψXYZX′Y′Y″zψψψθθθXYZX′X″xY′Y″yϕϕϕψψψθθθXYZ2.2.4.432.2.4.43--11--2Euler2Euler角角‡绕oZ轴旋转(3),Rz(ψ)‡绕oX'轴旋转(1),Rx(ϕ)‡绕oY轴旋转(2),Ry(θ)‡在轨道坐标系内zψ为偏航角zϕ为滚动角zθ为俯仰角312(,,)()()()coscossinsinsincossinsinsincoscossincossincoscossinsincossincossinsinsinsincoscoscoscosyxzARRRψθϕθϕψθψϕθψθψϕθψϕθϕψϕψϕθψϕθψθψϕθψϕθ=−+−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠XYZψX′Y′Z′ψψXYZyψX′X″Y′Y″Y′″Z′Z″ψϕϕϕψXYzZyψX′X″X′″xY′Y″Y′″Z′Z″Z′″ψθθϕϕθψϕ‡优点z几何意义直观、明显z小角度线性化方便z在某些情况下，可直接测量‡缺点z包含三角函数，计算效率低z运动学方程有奇点2.2.4.5Euler2.2.4.5Euler角的特点角的特点2.2.4.6Euler2.2.4.6Euler角与其它姿态参数的转换角与其它姿态参数的转换‡3-1-2Euler角→姿态矩阵‡姿态矩阵→3-1-2Euler角zψ=arctg(-A22/A21)zϕ=arcsin(A23)zθ=arctg(-A13/A33)312(,,)()()()coscossinsinsincossinsinsincoscossincossincoscossinsincossincossinsinsinsincoscoscoscosyxzARRRψθϕθϕψθψϕθψθψϕθψϕθϕψϕψϕθψϕθψθψϕθψϕθ=−+−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠2.2.5Euler2.2.5Euler四元素式姿态描述四元素式姿态描述‡四元素的形式‡四元素与其它姿态参数的转换‡四元素的特点‡四元素的运算规则‡为什么要引入四元素描述姿态?z避免Euler角奇异z用Euler轴/角组成四个参数()12434sin/2sin(/2)sin(/2)cos(/2)xyzqeqqeqqqeqφφφφ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠v222212341qqqq+++=约束：12344qqxqyqzqqq=+++=+vvvv表达：四元素的形式四元素的形式‡四元素的形式‡四元素→姿态矩阵244()()22TTAqqqqIqqqq×=++−vvvvv‡姿态矩阵→四元素414yzzyzxxzxyyxAAqAAqAA⎛⎞−⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠v1241(1)2qtrA=±[phone]qqqqqqq×−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠v四元素与其它姿态参数的转换四元素与其它姿态参数