第三章-电子光学中的场

强流电子光学1.绪论2.第一章几何光学基础3.第二章电子在均匀场中的运动4.第三章电子光学系统中的场5.第四章电子轨迹方程6.第五章场和电子轨迹的求解7.第六章强流电子光学第三章电子光学中的场教师：刘迎辉电子科技大学物电学院本章组织数理基础3.1轴对称静电场的数学表达式3.2轴对称静电场近轴区性质3.3轴对称静电场力函数（流函数）性质3.4轴对称磁场的矢位和标位3.5轴对称磁场的数学表达式3.6数学解析法求解静电场与静磁场。数理基础电子光学的首要问题：求解电场、磁场分布几个假设：1.静场2.真空3.不考虑空间电荷和电流的影响。4.场结构简单：轴对称或者面对称物理基础麦克斯韦方程组：BEtDDHJt0B（3－1）0E0E0B0B（3－2）在假设条件下：DEBH矢量公式通用形式112233hqhqhq123eee2311322131231231[()()()]DhhDhhDhhDhhhqqq数学基础数学基础22313211231112223331()()()hhhhhhhhhqhqqhqqhq231323123112233hhhhhhAqqqhAhAhA312eee直角坐标系圆柱坐标系???qhe拉梅系数在直角坐标系（x、y、z）同其它正交曲线系（q1、q2、q3）间建立了联接。2222)()()(iiiiqzqyqxh（3－3）3.1轴对称E的数学表达式3.1.1各种正交曲线坐标系中矢量运算公式的求法圆柱坐标系下拉氏方程：22222211()0rrrrrz（3－4）22222211()00rrrrrrzzr0当时，直角坐标系下拉氏方程：22222220xyz3.1.1各种正交曲线坐标系中矢量运算公式的求法3.1.2轴对称E的幂级数表达式假设，场的作用空间无奇异点、无点电荷、无面电荷和偶电层，则电位是解析函数，可以展成幂级数。2(2)20241(,)(1)()()(!)2()()()...464kkkrrzVzkrrVzVzVz（3－5）谢尔茨公式：由上式可知：已知轴上电位分布可求空间电位分布贝塞尔微分方程：0)1(12222zdzdzdzd（3－6）3.1.3轴对称电场的积分表达式圆柱坐标系下拉氏方程：222210rrzr0贝塞尔函数Jn（x）函数是震荡衰减函数，有无穷多个单重实零点，在x轴上关于原点对称。第一类、第二类贝塞尔函数3.1.3轴对称电场的积分表达式利用分离变量法求解拉普拉斯方程201(,)(sin)2rzVzirada(3－7)轴对称电场的积分表达式：3.1.4轴对称E的调和级数展开式调和级数展开式可以对某一点附近的电场进行研究（例如鞍点或阴极前的场）00(,)(,)kkkrzCPrzz（3－8）()00022000000()(,)(-)!1()(-)()()[(-)()]...22kkkVzrzPrzzkrVzzzVzVzzzVz，()0()!kkVzCk其中，()2200(0)1(,)()()()()()...!220,000kkkVrzrzPrzVVzVzk，3.2轴对称静电场近轴区性质研究近轴区：1.掌握近轴区性质对于定性分析电子在场内的运动是有利的。2.目前广泛采用的数值计算方法求解电场，更加需要注意轴附近电位分布的特殊点，以及等位面的曲率和形状。3.2.1近轴区电场对电子作用受力分析(一级近似)：'''()()2zzrrFeEeVzeFeEVzr（3－9）谢尔茨公式：24(,)()()()...464rrrzVzVzVz3.2.2对称轴附近的等位面形状旋转对称电场中，等位面方程：(,)rzC其中，C为常数，对应于不同取值的等位面。（3－10）•子午面，子午等位线(子午线，等位线)。3.2.2对称轴附近的等位面形状例1在圆柱坐标系下，求轴对称静电场中，对称轴上除鞍点外任一点zo附近的等位线形状。220000(,)()()()()()/2()/4oorzVzzzVzzzVzrVz()000()(,)(,)!kkkVzrzPrzzk展开，略去二次以上高次项：结论3.2.3等位面的曲率1.曲率和曲率半径：曲线上两点Q和M的切线正向的夹角与弧长之比，当Q趋向于M时的极限，即：dsdMQkMQlim称为曲线在点M的曲率。ddskR1称为曲线在点M的曲率半径。（3－11）（3－12）3.2.3等位面的曲率2.当已知曲线方程为：y=f(x)时，yyR2/32)1(（3－13）即是曲线的曲率半径。3.2.3等位面的曲率要求得等位面上某点的弯曲程度，只需求出通过该点的、任意两个彼此垂直方向上的曲率。1.子午曲率：1/RM(r，z)子午等位线2.弧矢曲率：1/RS(r，z)弧矢等位线3.求解3.2.3等位面的曲率梅尼定理：曲面上任意曲线B的曲率半径等于在曲面法线上所截取的对应法截线的曲率半径在曲线B的主法线上的正射影。cosMsRR(3-14)4.在轴上某点处的等位面的曲率111()()()()2()MsVzRzRzRzVz等位面在轴上的任何方位的曲率相同3.2.4鞍点附近的等位面鞍点这词语来自于不定二次型的二维图形，像个马鞍：在x-轴方向往上曲，在y-轴方向往下曲。的鞍点在(0,0)的鞍点在(0,0)两座山中间的鞍点(双纽线的交叉点)22000(,)()()()/2()/4orzVzzzVzrVz鞍点附近电位：通过电位函数描述等位面通过力函数描述力管3.3轴对称静电场力函数12sEdS（3－15）正交力函数：等于通过z轴，面积为S的圆盘内的电力线通量平均值：轴对称静电场的性质1z1zzrErrErr静电场恒为无旋场，因此电位的引入无条件。力函数的引入需要在无自由空间电荷条件下，才满足无源条件旋转对称磁场是电子光学系统中广泛采用的磁场液氦制冷超导磁体系统无液氦、传导制致冷超导磁体系统旋转对称磁场是电子光学系统中广泛采用的磁场05010015020025030035040045050055002000400060008000100001200014000B0(Gs)z(mm)B3.4轴对称磁场的矢位和标位AB(3-16)(,)(,)rrzzBBrzBBrz(3-17)0B由电磁场理论知道，可引入磁矢量位A，使磁感应强度满足：（无角向分量）由于磁场的旋转对称性3.4.1轴对称磁场的矢位通过矢量运算我们可以得到：zrArBr)(1r)rA(r1Bz0B（3－18）3.4.1轴对称磁场的矢位最简单的选择：（3－19）)z,r(AA,AAzr0上式表明，矢位A仅有角向分量，即：),(zrAA（3－20）1()rrAABrzz1()zrABrr0B则：3.4.2轴对称磁场的力函数在无自由空间电流区间，磁场无旋：（3－21）2222()1()()00rArArABrrrz其中，的物理意义：表示磁场中的流函数（力函数）,类似于静电场的力函数。它是通过以r为半径，以z轴为圆心的且垂直于轴的圆盘内的磁通量的倍：2112srABdS（3－22）rArA3.4.3轴对称磁场的标量位由磁场标位和电场标位函数相似性可得磁标位的谢尔茨公式为：)()2()!(1)1(),()2(22zrkzrkokk（3－23）注意：1.静电场恒为无旋场，因此电位的引入无条件。力函数的引入需要在无自由空间电荷条件下，才满足无源条件2.磁场恒为无源场，力函数的引入无条件。磁标位的引入需要在无自由空间电流条件下，才满足无旋条件3.5轴对称磁场的数学表达式1.磁标位的幂级数表达式2.磁矢位A的幂级数表达式01212)(),(kkkrzazrA（3－24）(2)1212()11()(1)()!(1)!2kkkkazazkk（3－25）(2)2101(,)(1)()()!(1)!2kkkkrArzBzkk（3－26）3.5.1轴对称磁场的幂级数表达式3.磁感应强度B的幂级数表达式：121(21)01(,)(1)()()!(1)!2kkkrkrBrzBzkk（3－27）2(2)01(,)(1)()()!!2kkkzkrBrzBzkk（3－28）显然：Br是r的奇函数，Bz是r的偶函数4.近轴区磁场性质取级数表达式的第一项'(,)()2(,)()2(,)()(0,)rzzrArzBzrBrzBzBrzBzBz（3－29）显然：近轴区A和Br同r成正比，Bz与r无关。即：磁场在r方向对电子的作用力同r成正比。3.5.1轴对称磁场的幂级数表达式3.5.2积分表达式1.磁标位和Br及Bz的积分表达式：201(,)(sin)2orzzirada（3－30）20201(,)(sin)2(,)(sin)sin2rzBrzBziradaiBrzBziraada3.5.2积分表达式2.A的积分表达式：20(,)(sin)sin2ooiArzziraada3.6数学解析法求解轴对称静场E、B解析法仅适用于少数具有特定几何结构形状的电极系统的场。分离变量法数学解析法利用边界条件进行处理3.6.1等径双圆筒电极系统E分布图1等径双圆筒电极简图双曲函数如同点(cost,sint)定义一个圆，点(cosht,sinht)定义了右半直角双曲线x²-y²=1。这基于恒等式t0对于所有的t。双曲函数是带有复周期2πi的周期函数。参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点(cosht,sinht)的直线之间的面积的两倍。函数coshx是关于y轴对称的偶函数。函数sinhx是奇函数，就是说-sinhx=sinh-x且sinh0=0。3.6.2带极靴或铁磁外壳B分布在磁场外部加上极靴或者铁磁外壳是为了使磁场更集中、更强图2带铁壳磁体截面图