线性空间练习题参考答案

第六章线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000,,00VabcabcRcb是33R的一个子空间，则维（V）＝3，V的一组基是000000000100,100,010000010010.2．在P4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)kk线性无关，则k的取值范围是3k（以1234,,,为行或者列构成的行列式不为零）.3．已知a是数域P中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}niWaxxxPin是Pn+1的一个子空间，则a＝0，而维(W)＝n4．维数公式为12dimdimVV1212dim()dim()VVVV.5．设123,,是线性空间V的一组基，112233xxx，则由基123,,到基231,,的过渡矩阵T＝001100010，而在基321,,下的坐标是321(,,)xxx由基123,,到基233112,,的过渡矩阵为T＝011101110.6．数域P上n级对称矩阵全体构成数域P上(1)2nn维线性空间，数域P上n级反对称矩阵全体构成数域P上(1)2nn维线性空间，数域P上n级上三角矩阵全体构成数域P上(1)2nn维线性空间，数域P上n级对交矩阵全体构成数域P上n维线性空间，数域P上n级数量矩阵全体构成数域P上1维线性空间.二、判断题1.设nnVP，则{,0}nnWAAPA是V的子空间.错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知{(,),,,}VabicdiabcdR为R上的线性空间，且维(V）＝2.错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)ii.3.设,nnABP，V是0AXB的解空间，V1是AX＝0的解空间，V2是(A＋B)X＝0的解空间，则12VVV.正确.12VV中的向量既满足AX＝0，又满足(A＋B)X＝0，因此也满足BX＝0，即满足0AXB，即为V中的向量.反之，V中的向量既在1V中，又在2V中，即为12VV中的向量.因此12VVV.4.设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组12,,,s线性表出，则维(W)＝s.正确.根据定理1.5.设W是线性空间V的子空间，如果,,V但,WW且则必有.W错误.可能.W如取,为一对互为负向量，则0.W6.}0|),,{(33321xRxxxW是3R的子空间.正确.基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2.7.}1|),,{(23321xRxxxW是3R的子空间.错误.不包含零向量.8.}|),,{(3213321xxxRxxxW是3R的子空间.正确.基为（1,1,1），维数为1.9.}|),,{(3213321xxxRxxxW是3R的子空间.正确.基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2.三、计算题1.求所有与A可交换的矩阵组成的nnP的子空间()CA的维数与一组基，其中100020003A.解：设矩阵33()ijBb与A可交换，即有ABBA.即111213111213212223212223313233313233100100020020003003bbbbbbbbbbbbbbbbbb.111213111213212223212223313233313233232222333323bbbbbbbbbbbbbbbbbb.所以有,()0,,1,2,3.ijijijibbjijbij当ij时，0ijb，因此11223300()0000bCAbb维数为3，基为112233,,EEE.2.在线性空间P4中，求由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)在基1234,,,下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).解：令过渡矩阵为T，则有10111432131401238761001232210001T因此11432101123798012313146331001287612321000132213221T.令123411432401232001230001xxxx112341432114113611010123401274210012200122400013000133xxxx(1,4,2,3)在基1234,,,下的坐标为（-101,21，-4,3）四、证明题为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}WfxfxVfxfxWfxfxVfxfx证明：W1、W2皆为V的子空间，且12.VWW证明：W1、W2分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W1、W2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W1、W2皆为V的子空间.()()()()(),()22fxfxfxfxfxVfx.而12()()()(),22fxfxfxfxWW，因此12.VWW又12{0}.WW所以12.VWW2.设W是Pn的一个非零子空间，若对于W的每一个向量12(,,,)naaa来说，或者120naaa，或者每一个i都不等于零，证明：维(W)＝1.证明：由W是Pn的一个非零子空间，可得W中含有非零向量设1212(,,,),(,,,)nnaaabbb是W中的任二个非零向量，由题意可得每一个,iiab都不等于零.考虑向量11112112121211(,,,)(,,,)(0,,,)nnnnbabaaaabbbbaabbaabW.由题设条件有1212110nnbaabbaab，即有1212nnaaabbb.即W中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.