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第四章比例2.正比例和反比例【知识梳理】1.正比例的意义。（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。（2）正比例关系的字母表达式：xy=k（一定）。要点提示：成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。如两种量的和或差一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。2.正比例关系的图像。正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，线上所有点所对应的两个数的比值都相等。3.反比例的意义。（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。（2）反比例关系的字母表达式：x×y=k（一定）。4.判断两种量成正比例还是成反比例的方法。关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。【诊断自测】1.填空。（1）用字母表示的正比例关系式是（），反比例式是（）。（2）已知6x=4y，x和y成（）比例，已知3x=y6，x和y成（）比例。（3）单价一定，数量与总价成（）比例；数量一定，单价与总价成（）比例；总价一定，数量与单价成（）比例。（4）当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（）。2.选择。（1）在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（），成反比例关系是（）。A.汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数。B.汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。C.汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数。（2）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（）分钟。A.8B.6C.4（3）a÷b=c，当c一定时，a和b（）；当a一定时，b和c（）；当b一定时，a和c（）。A.成正比例B.成反比例3.判断。（1）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（）（2）在成反比例的两个量中，一种量缩小，另一种量就扩大。（）（3）圆的半径和周长成正比例。（）4.解决问题。下面是表示小明和小强两人骑自行车的路程和时间关系的图象，请根据图象回答问题；①小明骑自行车行驶的路程和时间成什么比例？请简要说明理由；②小强骑自行车每分钟行多少千米？③照这样的速度计算，小明和小强在400米环形跑道上，同时在上午9：45从同一个起点同一个方向前进，两人在出发后第一次相遇时离起点多远？【考点突破】类型一：正比例的意义。例1.判断。如果3x=8y（x，y均不为0），那么y与x成正比例关系。（）答案：√解析：因为3x=8y，所以y：x=3：8=83（一定），符合正比例的意义，所以此说法正确。例2.判断。一个加数不变，和与另一个加数成正比例关系。（）答案：×解析：成正比例关系的两种量中相对应的两个数的比值一定，而不是差一定。例3.填空。已知32x=43y，则x、y成（）比例，x：y=（）。答案：正9：8解析：根据比例的基本性质可得：如果x是外项，那么32是外项；则y为内项，43为内项，即x：y=43：32=43×23=89（一定），所以x、y成正比例，x：y=9：8。类型二：正、反比例关系的图像。例4.判断。正比例的图像是一条直线。（）答案：√解析：两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一条过原点的直线。例5.填空。当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（）。答案：曲线解析：两种相关联的量中相对应的两个数的积一定，就成反比例关系，反比例的图象是一条曲线。类型三：反比例的意义。例6.填空。（1）a与b是两个成反比例的量，若a分别为10、20、40，则b与a相对应的量可能是（）。（2）如果2x=y2，那么x与y成（）关系。（3）被除数一定，除数和商成()比例。（4）小林骑自行车从家到学校，他骑车的速度和所需时间成()比例。（5）已知xy=k，当（）一定时，另外两个量成反比。答案：（1）20105（2）反比例（3）反（4）反（5）y解析：（1）反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy=k（一定）。因为10×20=20×10=40×5，所以b与a相对应的量可能是20，10，5。（2）根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积，可得xy=4（一定），故x与y成反比例关系。（3）根据被除数÷除数＝商，得被除数=商×除数，当被除数一定时，除数和商成反比例关系。（4）小林从家到学校的路程一定，所以他骑车的速度和所需时间成反比例。（5）由xy=k，得y=xk，当y一定时，x与k成反比。7.选择。（1）下列各项中，两种量成反比例关系的是（)。A．正方形的周长和边长B．路程一定，时间和速度C．4x=5yD．圆的半径和它的面积（2）挖一条水渠，每天挖的米数和需要的天数（)。A．成正比例B．成反比例C．不成比例答案：（1）B（2）B解析：（1）正方形周长=边长×4，故正方形的周长和边长成正比；路程=速度×时间，故路程一定，时间和速度成反比；由4x=5y，得x：y=5：4，故x与y成正比；圆的面积=πr2，故圆的半径和它的面积不成比例。故选B。（2）挖一条水渠时，水渠的长度一定，故每天挖的米数和需要的天数成反比例，故选B。例8.判断。（1）三角形的面积一定，底和相对应的高成反比例关系。（）（2）大米的总量一定，吃掉的和剩下的成反比例。（）（3）分数的分子一定，分数值和分母成反比例。（）答案：（1）√（2）×（3）√解析：（1）三角形的面积=底×高÷2，当面积一定时，底和相对应的高成反比例关系，符合反比例的意义，所以此说法正确。（2）吃掉的质量+剩下的质量=大米的总质量（一定），是吃掉的与剩下的对应的“和”一定，不是“乘积”一定，所以不符合反比例的意义，故此说法错误。（3）因为分数的分子÷分母=分数值，所以分母×分数值=分数的分子（一定），符合反比例的意义，故此说法正确。类型四：正、反比例的生活运用。例9.工程队修一条水渠，派25人去做，120天可以完成。如果工作效率不变，派30人去做，多少天可以完成？（用比例知识解答）答案：解：设x天可以完成，则30x=25×120x=25×120÷30x=100答：100天可以完成。解析：这项工程的工作总量是一定的，所以用的人数和做的天数成反比例，设出未知数，列出比例式解答即可。例10.一辆汽车原计划每小时行驶70千米，从甲地到乙地需要行驶6小时，实际上这辆汽车1.5小时就行驶了120千米。照这样的速度，从甲地到乙地比原计划提前了几小时？答案：解：设从甲地到乙地实际用了x小时，则（120÷1.5）x=70×680x=420x=5.256-5.25=0.75（小时）答：从甲地到乙地比原计划提前了0.75小时．解析：根据路程一定，速度与时间成反比例，设从甲地到乙地实际用了x小时，列比例为（120÷1.5）x=70×6，解方程得x=5.25，再用6-5.25=0.75小时，即可求出提前的时间。【易错精选】1.选择。（1）下面各题中的两种相关联的量，不成比例关系的是（）A．每分钟写字速度一定，写字总数和写字时间B．圆的面积和半径C．一段路，每天修的米数和所用的天数D．正方形的边长和周长。（2）已知xy=k+31，当k一定时，x和y（）A．成反比例B．成正比例C．不成比例D．无法确定（3）已知53x=74y，那么x与y成（）关系。A．正比例B．反比例C．不成比例2.判断。（1）一批零件，甲单独完成要9小时，乙单独完成要7小时，甲、乙的工作效率比是9：7。（）（2）如果ab+5=15，则a与b成反比例。（）（3）正方形的面积一定，它的边长和边长不成比例。（）【精华提炼】1.正比例的图象是一条直线，反比例的图象是一条曲线。2.单价一定，数量与总价成正比例。3.工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。4.圆的半径和周长成正比例。5.被除数一定，除数和商成反比例。6.三角形的面积一定，底和相对应的高成反比例关系。7.一个正数和它的倒数成反比例。8.路程一定时，速度和时间成反比例。【本节训练】训练【1】1.填空。（1）如果y=15x，x和y成（）比例；如果5a=4b（b≠0），那么a与b成（）比例。（2）xy÷2=3+5，则x，y成()比例。（3）三角形面积一定时，如果三角形的底边增大，则这条底边上的高将()。训练【2】2.选择。（1）铺地的方砖的面积一定，方砖的边长与所需方砖的块数（）。A．成正比例B．成反比例C．不成比例（2）一个正数和它的倒数成（）。A.正比例B.反比例C.不成比例训练【3】3.判断。（1）两个变化的量，不成正比例就成反比例。（）（2）因为速度×时间=路程，所以速度和时间成反比例。（）（3）自行车行走的里程一定，车轮的转数和车轮的直径成反比例。（）训练【4】4.两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱与第二个圆柱高的比是7：11，第二个圆柱的体积是144立方分米第一个圆柱的体积是多少立方分米？基础巩固一、填空。1.六年级同学排队做广播操，每行人数和排成的行数成（）比例；出油率一定，花生油的质量和花生的质量成（）比例；3x=y，x和y成（）比例。2.已知x，y（均不为0）能满足21x=31y,那么x，y成()比例，并且x：y=():()。3.a、b是两种相关联的量，如果a、b成正比例，那么“？”处应该填()；如果a、b成反比例，那么“？”处应该填（）。4.在圆柱的侧面积、底面周长、高这三个量中，（1）当（）一定时，（）与（）成（）比例关系；（2）当（）一定时，（）与（）成（）比例关系；（3）当（）一定时，（）与（）成（）比例关系。5.根据xy=0.1，把下表补充完整。X0.2550Y1232二、选择题。1.当xk2=y且x和y都不为0，当k一定时，x和y（）。A．成正比例B．成反比例C．不成比例2.同学们做操，每行站的人数和站的行数（）。A.成正比例B.成反比例C.不成比例3.体积是12dm3的钢材重60kg，重100kg的这种钢材，体积是多少立方分米？列式为（）。A.60×12＝100xB.12:60=100：xC.60:12=100：x三、判断题。1.圆锥体的高一定，底面积与体积成正比例。（）2.在一定距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。（）3.比的前项一定，后项和比值成反比例。（）四、解答题。1.配置一种清洗水果的溶液，50毫升溶液中需加入8毫升洗洁液，如果在配置这样的溶液300毫升，一共需要多少洗洁液？2.一个平行四边形的面积不变，它的底为9厘米，相对应的高为5.4厘米。如果它的底增加4.5厘米，那么对应的高应减少多少厘米？3.客车和货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，客车每小时行90千米，货车每小时行70千米。当货车行至全程的710时，客车距中点还有12千米。甲、乙两地相距多少千米？4.甲、乙两车从相距324千米的A地去B地，甲车比乙车晚0.8小时出发，结果两车同时到达，甲、乙两车速度的比是9:7，乙车每小时行多少千米？5.一辆汽车从A城市开往B城市，如果把车速提高20%，则可比原定时间提前1小时到达B城市；如果按原来速度先行驶100千米后，再将速度提高30%，恰好也能比原定时间提前1小时到达B城市。A、B两城市之间的路程为多少千米？巅峰突破1.如图，求阴影部分的面积。（单位：平方厘米）1530？482.一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比依次是1:2:3，某人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡是速度为每小时3公里，路程全长50公里，问：此人走完全程用了多少时间？3.甲、乙两名计算机文字录入人员要共同录一份15400字的文稿，当甲完成录入任务的56，乙完成录入任务的80%时，两人尚未录入的文字相等。问：甲的录入任务是