排列组合着色问题

例解排列组合中涂色问题于涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A；（4）③与⑤同色、②与④同色，则有44A；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A=120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1)当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2)区域3与5必须同色，故有34A种；3)当用四种颜色时，若区域2与4同色，4)则区域3与5不同色，有44A种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A种，故用四种颜色时共有244A种。由加法原理可知满足题意的着色方法②①③④24315①②2③④⑤⑥共有34A+244A=24+224=723、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：（1）四格涂不同的颜色，方法种数为45A；（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542CA；5)两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A，因此，所求的涂法种数为212255452260ACAA4、根据相间区使用颜色的种类分类例5如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可1A解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有4333108种方法。（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有2234CA种着色方法，此时B、D、F有322种着色方法，故共有2234322432CA种着色方法。（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有34A种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有34222192A种方法。故总计有108+432+192=732种方法。说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。如：如图，把一个圆分成(2)nn个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？解：设分成n个扇形时染色方法为na种（1）当n=2时1A、2A有24A=12种，即2a=12（2）当分成n个扇形，如图，1A与2A不同色，2A与3A不同色，，1nAABCDEF12343A⑤1A⑤2A⑤4A⑤nA⑤3A⑤与nA不同色，共有143n种染色方法，但由于nA与1A邻，所以应排除nA与1A同色的情形；nA与1A同色时，可把nA、1A看成一个扇形，与前2n个扇形加在一起为1n个扇形，此时有1na种染色法，故有如下递推关系：1143nnnaa1211243(43)43nnnnnnaaa21321234343434343nnnnnnnaa124[33(1)3](1)33nnnnn二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。例6、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有125460CA种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有24A种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240CACC种方法。（3）若恰用五种颜色染色，有55120A种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360种染色方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有13227种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是607420解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，SCDAB对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？解答略。三、线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：1)根据共用了多少颜色分类讨论2)根据相对线段是否同色分类讨论。例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有44A种（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423CCA种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A种因此，所求的染色方法数为411224423484ACCAA种解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有4312种涂色方法。由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有13227种涂色方法。由乘法原理，总的涂色方法数为12784种例8、用六种颜色给正四面体ABCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A种方法。（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3466CA种方法。（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536CA种方法。（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A种不同的方法。综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336AACACA种。四、面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656C种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）9035562Cn(3)共用四种颜色,仿上分析可得9024463CCn(4)共用三种颜色,20364Cn例10、四棱锥PABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：（1）最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A种；（2）当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424CA；故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472ACAABCDP53214