4-等离子体的流体描述

4等离子体的流体描述从前面我们可以知道，单个粒子的运动是十分复杂的。由于我们不能分别跟踪各个粒子的运动，因此我们应采取统计学的方法对等离子体进行描述。如果在速度空间粒子的分布函数是重要的，我们首先应该了解Boltzman方程，它是粒子守恒方程的一种。4.1粒子守恒（3维空间）图4.1粒子守恒的单元体单元xy∆∆∆z内粒子数为体积Vxyz∆=∆∆∆乘以密度。粒子数量的变化率等于单位时间内穿越边界的粒子数量，即流量(无源)。n[]xyznt∂−∆∆∆=∂穿越边界的流出量(4.1)取粒子速度为（并不是随机速度，而是流动速度），单元中心流动的流量密度记为：n(vr=)vJ[(0,0,/2)(0,0,/2]zzJzJzxyxy∆−−∆∆∆++流出量＝(4.2)利用泰勒展开：(0,0,)(0)zzJJJzzηη∂=+⋅∂(4.3)因此()()zznvzxyxyVn∂∆∆∆++=∆∇⋅∂v流出量(4.4)因此可以得到粒子守恒方程：()nnt∂−=∇⋅∂v(4.5)注意我们已经从根本上证明了高斯定理的一种基本形式：3vrd∂∇⋅=⋅∫∫ArAdS(4.6)‘流体描述’指简化的等离子体处理方法，而并不需要确切地知道f依赖于的关系。v1.流体描述本质上是3维的。2.处理一些在速度空间平均的量（例如密度，平均速度等等）。3.忽略一些重要的物理过程（但描述其他的）。4.对问题提供容易处理的方法。5.我的讲座的大部分内容将针对这一问题。流体方程可以通过取Boltzman方程的矩1来进行数学推导：0阶矩：3d∫v(4.7)1阶矩：3dv∫v(4.8)2阶矩：3dv∫vv(4.9)这样就可以分别得到（0）粒子（1）动量和（2）能量守恒方程。我们应该采取更直接的‘物理’方法。1因此它们有时被称作“矩方程”4.2流体运动流体的运动可用矢量速度场来描述（为处组成流体的所有单个粒子的平均速度），当然也需要粒子密度。我们这里讨论的是只有一种粒子的流体的运动，这种粒子的质量、电荷比为，因此电荷和质量密度分别为和。()vr()vr)rr(n/mqqnmn我们已经知道粒子守恒方程，它有时也称为‘连续方程’。()0nnt∂+∇⋅=∂v(4.10)也可以将∇⋅展开而得到：()0nnnt∂+⋅∇+∇⋅=∂vv(4.11)这里比较重要的是：前两项为的“对流导数”：nDdDtdtt∂≡≡+⋅∇∂v(4.12)因此连续方程可以写成：DnnDt=−∇⋅v(4.13)4.2.1拉格朗日和欧拉坐标系存在两种坐标系。1.拉格朗日坐标系，观察者位于一个流体单元上，并随流体一起运动。图4.2拉格朗日坐标系2．欧拉坐标系，观察者位于空间的一个固定点，观察流过你所在的体积单元的流体运动：单元内的流体持续变化。t∂∂代表在固定点（欧拉坐标）的变化率。DdDtdtt∂≡≡+∂v⋅∇代表运动点（拉格朗日坐标）的变化率。dxdydzdtxdtydtz∂∂⋅∇=++∂∂v∂∂代表由于运动引起的变化。图4.3欧拉坐标系我们对连续方程的推导是欧拉型的。从拉格朗日坐标系来看：21DdNNddVnVnDtdtVVdtVdt∆∆∆==−∆=−∆∆∆(4.14)由于体积单元的总粒子数（N∆）是常数（我们和体积单元一起运动）。（）Vx∆=∆∆yz∆ddxdydzVyzzxydtdtdtdt∆∆∆∆=∆∆+∆∆+∆∆x(4.15)111dxdydzVxdtydtzdt∆∆∆=∆++∆∆∆(4.16)但是：()(/2)(/2)xxdxvxvxdt∆=∆−−∆(4.17),......xvxyzx∂∆∂，等等(4.18)因此：d[]yxzvvvVVVdtxyz∂∂∂∆=∆++=∆∇⋅∂∂∂v(4.19)所以DnnDt=−∇⋅v(4.20)为拉格朗日连续方程。当我们取DDtt∂=+⋅∇∂v时，和欧拉型的连续方程是相同的，其中量是体积单元的压缩率。−∇⋅v4.2.2动量（守恒）方程等离子体中的每个粒子都会受到洛仑兹力q[]+×iEuB的作用（u为单个粒子的速度）。i因此，由于电磁场而作用到流体单元上的总力为：([])()iqNq+×=∆+×∑iEuBEvB(4.21)（利用平均值：）/iN=∆∑vu电磁力密度（单位体积）为：()EMnq=+×FEvB(4.22)体积单元的总动量为：iimmNVmn=∆=∆∑uvvF)(4.23)因此动量密度为。mnv假如没有其他的力作用，则运动方程要求对时间的偏导等于。由于我们希望保持粒子的一致性，因此我们在动量方程中希望得到项，也就是对流导数（拉格朗日图）。mnvEMDDt/一般来说还有额外力的作用，它们是（1）压力，（2）碰撞摩擦。4.2.3压力在气体中，(pnT=是热运动引起的单位面积上的作用力。周围的流体将该力施加到单元上：图4.4作用在单元上相对面上的压力x方向的净力为：(/2)(/2)pxyzpxyz−∆∆∆+−∆∆∆(4.24)()xppxyzVVpxx∂∂−∆∆∆=−∆=−∆∇∂∂(4.25)因此，（各向同性的）压力密度（/单位体积）为Pp=−∇F(4.26)这在上面的图片是怎样出现的？回答：通过穿过单元边界热运动粒子的动量交换。虽然在拉格朗日坐标系中我们随单元运动（定义为平均速度v），而单个粒子也有各自的热运动速度，因此它们的附加速度为：ii=−wuv“本动”速度(4.27)因此，一些粒子穿越单元边界与外面的粒子进行动量交换。（即使在单元中没有粒子数量的净变化。）由于本动速度为w的粒子穿越单元表面ds产生的的动量交换率为：3wd(4.28)N3()fmd×⋅ds 穿过的流率速度为的动量密度沿分布函数积分得到总的动量交换率：3()mfd⋅∫ds(4.29)积分符内是一个张量，记为(4.30)3()mfd=∫p（压力张量）动量交换率为：⋅pds(4.31)实际上，假如为各向同性（比如Maxwell分布），则(fw)3()0xyxypmwwfd==∫ww等等(4.32)23()('')xxxyyzzpmwfdnTppp=≡==∫ww=(4.33)因此动量交换率为pds（标量压力）。在整个单元上沿ds积分，得到动量交换率的x分量：V∆()()()22xxxpyzpyzVp∆−∆∆∆−−∆∆=∆∇(4.34)因此，单位体积内由于穿越边界引起的的总动量损失率为()pp∇=−F(4.35)根据动量方程，我们将p∇放在动量偏导侧或者将F放入方程的作用力侧，结果是相同的。p忽略碰撞，动量方程为：()[]EMpDmnVVDt∆=+∆vFF(4.36)回忆nVN∆=∆；()0DNDt∆=；因此...DLHSmnVdt=∆v(4.37)因此，替换F项：动量方程：()()DmnmnqnpDtt∂=+⋅∇=+×−∇∂vvvvEvB(4.38)4.2.4动量方程：欧拉坐标系在空间中将单元固定。等离子体从中流过。1.作用在单元上的电磁力（单位体积）()EMnq=+×FEvB(4.39)2.穿越边界的动量通量（单位体积）(4.40)3()()()mf=∇⋅++∫vwv}(4.41)3{()()}mf=∇⋅+++∫vvvwwv 积分值为0{mnp=∇⋅+vv(4.42)(4.43)()[()]mnmnp=⋅∇+∇⋅+∇vvvv（取各向同性的p）3.单元内的动量变化率（单位体积）()mnt∂=∂v(4.44)因此，总体动量平衡：()()[()]EMmnmnmnpt∂+⋅∇+∇⋅+∇=∂vvvvvF(4.45)用连续方程：()0nnt∂+∇⋅=∂v(4.46)消去第三项和第一项的一部分：()(())()nmnmnmnmnmntt∂∂+∇⋅=+∇⋅+=∂∂vvvvvvvtt∂∂∂∂(4.47)然后将p∇移到右边得到昀终的形式：[()]()mnnqpt∂+⋅∇=+×−∇∂vvvEvB(4.48)这与前面通过拉格朗日公式所得到的一样（碰撞已被忽略）。4.2.5碰撞的影响首先我们应注意到同种粒子间的碰撞不会改变总动量（所有同种粒子被平均）。不同粒子之间的碰撞会改变组分之间的动量。由于准中性的等离子体包括至少两种不同的组分（电子和离子），因此我们必须考虑两种互相穿插的流体之间的另外一种动量损失（获得）项。组分1与组分2碰撞引起的动量密度损失率为：121112()nmν−vv(4.49)因此我们可以立即得到广义的动量方程：1111111111121112[()]()()mnnqpnmtν∂+⋅∇=+×−∇−−∂vvvEvBvv(4.50)组分2的方程与组分1似相同。4.3动量方程的关键问题我们应该怎样考虑压力p呢？从本质上讲pnT=由能量平衡决定，能量方程反映温度T的变化。我们可以通过与动量方程相同的方式写出能量方程。然而，这将包含热流量项，为未知量。一般来说，矩方程方程包含一个矩的项。thk(1)thk+连续方程,方程包含，决定于0thv动量方程，1st方程包含p，决定于能量方程，方程包含Q，决定于…2nd为了得到明确的结果，我们必须截断这一层次关系。为此可以对热流量作一些假定。这将引出一个：状态方程：(4.51)γconstpn−=γ值的选取取决于热流量的假定以及能量分布的各向同性（或相反）。例子：1．等温：T：const=γ1=2．绝热/各向同性：3自由度：γ5/3=3．绝热/单自由度：γ3=4．绝热/2自由度：γ2=一般来说，(/2)(/)nTpVVδδ=−A（绝热自由度）A2TVTVnnδδδ−==+A(4.52)因此2(1),pnTnpnTnδδδδ=+=+A(4.53)也就是说2(1)constpn−+=A(4.54)在一般的通过碰撞维系的气体中，能量迅速地分布在3个自由度。等离子体经常处于很少碰撞的状态，因此在一维方向上的压缩经常被限制在一个自由度上。有时热传输很快，所以等温近似是成立的。它取决于确切的情况；因此，我们现在先不给γ一个确定的值。4.4二流体方程的概要组分j等离子体响应1.连续方程()0jjjnnt∂+∇⋅=∂v(4.55)2.动量方程[()]()()jjjjjjjjjjkjjjkmnnqpnmtν∂+⋅∇=+×−∇−−∂vvvEvBvv(4.56)3.能量/状态方程：(4.57)γconst..jjpn−=（j=电子，离子）Maxwell方程00/ρε∇⋅=∇⋅=BE；(4.58)021cttµ∂∂∇×=+∇×=−∂∂EBBjE；(4.59)()eeiieiqnqnenZnρ=+=−+(4.60)()eeeiiieeiiqnqnenZn=+=−+jvvvv(4.61)()(eeienr=−−vv准中性）(4.62)其中未知量方程,eninivi2连续（电子，离子）2,ev6动量（电子，离子）6,epp2状态（电子，离子）2E，B6Maxwell81618但是Maxwell方程中的两个方程是多余的，因为这两个方程可以由其它方程得到：比如()0()t∂∇⋅∇×==−∇⋅∂EB(4.63)和022011()0()()ctctρµε∂∂−∇⋅∇×==∇⋅+∇⋅=+∇⋅∂∂BjEE(4.64)因此对于16个未知量有16个方程。因为大部分方程是非线性的，所以对方程的求解是非常困难和复杂的。在某些情况下可以通过‘线性化’使这一问题变得容易处理。这意味着，我们可以取一些已知的平衡态的解，并假定与平衡态解的偏差（扰动）很小，因此我们可以只保留一阶线性项而忽略其它项。4.5二流体平衡：反磁电流平板：0,0xyz∂∂∂≠=∂∂∂直磁场：ˆB=Bz平衡：0()tφ∂==−∇∂E无碰撞：0ν→动量方程：()()jjjjjjjjmnnqp⋅∇=+×−∇vvEvB(4.65)以下略去下标j。然后写成x，y分量形式：()xxxyddmnvvnqEvBdxdx=+−(4.66)p(0)xyxdmnvvnqvBdx=−0(4.67)当时，方程（4.67）成立。因此（4.66）：xv=→()xydpnqEvBdx0+−=(4.68)也就是1xyEdpvBnqBdx−=+(4.69)或者，写成矢量形式：N22pBnqB××∇=−×